数学类课程中“二三四”创新性教学模式初探

臧鸿雁

摘  要：在创新性人才培养的需求下，本文针对数学类课程，提出在课堂教学中挖掘知识产生过程，带领学生重走前人创新之路，以及引领学生将所学知识延伸到专业领域的重要性。并以“概率论与数理统计”课程中的概率公理化定义和“信息理论基础”课程中的事件信息量定义为例，阐述如何在课堂教学中引导学生挖掘数学定义产生过程，并以开放性作业为辅助和延伸，培养学生创新能力。经过三年的教学实践，从学生的反馈来看，该方法在实践中达到了良好的教学效果，尤其适合小班教学。

关键词：数学类课程;创新性人才;概率公理化定义;信息量;开放性作业

2005年钱学森提出了一个令人深省的疑问：为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？这一疑问，不仅成为社会各界对我国高等教育的疑问，而且成为建设创新型国家必须面对的疑问，更成为整个教育界及教育工作者对如何正确培养创新性人才的疑问。随着“钱学森之问”在社会上引起的广泛关注与讨论，很多专家、学者分别在不同场合阐述了如何培养创新性人才的观点。各高校特别是一些研究型高校，在创新性人才培养模式、理念等方面已经做出了努力，取得了显著的成效。

高校教师在创新性人才成长中起着重要的作用，教师的教学理念和教学模式，将直接影响到创新性人才的培养质量。所以，积极探索创新性人才培养模式具有重要的意义。

一、数学类课程对创新性人才培养的重要性

基础课程教学质量对创新性人才培养起着重要的作用。耶鲁大学校长理查德·雷文在《美国大学是经济发展的动力》演讲中提出一个重要观点：“基础研究没有明确的而实用的商业目的，而是完全以对知识的认识和探求为动力的。但基础研究最终是具有商业导向的应用研究的和开发的源泉。时下正在进行的创新性商业产品的开发可能是依赖于10年、20 年或50年前基础研究成果，而当时并不知道那些研究会有什么实用性结果。” 由于电子计算机的出现及飞速发展，作为基础课程的数学类课程，正在以空前的广度和深度向更多领域渗透。以数学为工具解决实际问题的模式如图1所示。

图1  数学解决实际问题模式

所以，数学类课程的教学改革对提高高校人才培养质量产生重要影响。

以考试为导向的传统数学教学模式是课上注重知识点的讲解，课下做大量习题巩固知识点，这样有助于培养知识储备型人才，学生学过课程之后，会储备丰富的该领域的知识。但是学生在数学课的学习中也表现出一些问题：知识点学习得很快，但考完试遗忘得也很快;课程的知识结构和研究思路不清晰;习惯跟着习题和试卷学习知识，不问知识产生的过程和意义;应试能力很强，特别在意分数，但研究问题能力有待提高;习惯照着做，不习惯问为什么这么做;习惯有人指导着做，不习惯主动去做;习惯一个人做，不习惯讨论和合作。

基于以上问题，本文提出了数学类课程挖掘知识产生过程、构建数学知识、变知识传承为思想传承的教学理念。笔者在多年教学实践中总结了一些具体措施和方法，并给出了一些具体的教学实施方案和教学效果的评价。

二、两个对话

1.与创造知识的人对话

与创造知识的人对话，体现在课前备课阶段。数学类课程历史厚重，思想深刻。教材中往往汇集了几百年来该学科发展过程中得到的重要理论和知识。比如很多数学定义本身是数学建模的过程，一个定义本身就是当时的重大创新成果。由于课堂学时受限，又有应试需求，所以绝大多数教材及课堂教学中对这些知识的产生过程没有做出深入的挖掘，所以大多数学生对该课程中的一些重要知识的认识处于“只知其然而不知其所以然”的状态。这样，会导致在这门课程结束考试之后，知识的遗忘速度很快，在实际应用领域，又不知道如何学以致用。更重要的是因为知识产生过程的缺失，使得这样培养的学生在该领域很难具有创造有价值的新知识的能力。所以，在备课的时候要对知识点产生过程进行研究，并且将其精华展现在课堂上，带领学生重走前人创新之路，激发学生进一步研究的兴趣，将进一步的深入研究引申到课外。这样，有助于将数学课程的教学从知识传承向思想传承转变。

挖掘知识产生的过程，对数学类课程的意义尤为重要。如果把获得创新性的研究成果比喻成摘到果子，那么带领同学们挖掘知识产生的过程，就犹如带领同学们重现前人摘到果子的过程，重现在当时的条件下，前人如何克服困难找到解决问题的办法，最后如何摘到了果子。如果在教学过程中，忽视这个环节，就相当于教师只是告诉学生这个果子是什么样的，有多大，有多甜，如何食用。而在当今时代，也许果子更大，更红，也更高了，而摘取果子所用的工具也更先进了，学习和借鉴前人解决问题的方法，才能在当前的环境下更好地解决现在的问题，获得创新性的研究成果。

2.与学生对话

这部分属于讲授技巧的范畴，体现在课上及课后。一个优质的课堂必然是有感染力的，一个能吸引学生的教师必然是有亲和力的。那么，感染力和亲和力从哪里来呢？首先就是课堂内容的把握，逻辑严谨，有深度;其次就是教学环节的精心设计，用精美的课件把优秀的内容表现出来。如果以上两点做得好，教师本身就会有强烈的想讲的欲望，表现出来就是课堂的激情，这样的课堂也就有了感染力。当然，课堂的主体是学生，交流和互动是非常重要的，如果这一点教学设计到位，教师做得好，教师就有了亲和力。

另外，每位教师的授课都有自己的风格，这是由教师的性格决定的。有的和蔼亲切，有的不苟言笑，有的风趣幽默，有的言简意赅，保持自己的风格并将之做到极致就是最好的。

三、三个境界

美国教育家肯·贝恩说过：仅仅凭借优雅的仪表、良好的愿望、悦耳洪亮的嗓音、热情的目光交流——无论他们多么有用，还没有达到教学的巅峰。大师级的老师不单单是优秀的讲演家或讨论的领导者;从根本上来讲，他们应该是特殊类型的学者和思想家，引领自己和学生钻研学问，享受智慧人生。对学生的关爱使他们注意表演的细节，他们的焦点定位在学习的本质和过程，而不是教师的表演[1]。

作为大学教师，对教学效果的追求是永无止境的，以下三个境界可以作为大学教师衡量自身教学能力的尺子。

1.优秀的讲演家

教师首先就是要成为一个优秀的讲演家，针对教学内容表达清晰，语言有感染力等，这是一个教师最起码的能力。

2.优秀的组织者

教学过程毕竟不是讲演，学生是课堂主体，所以教师要有效地调动学生思考，调动学生参与教学内容。这需要教师课前精心地进行课堂设计，课上有效地组织和调动学生。

3.优秀的思想家

教学过程不仅仅是传授知识，教师也不仅仅担负传授知识的使命，还要传承思想和方法。所以正如美国教育家肯·贝恩说的那样，最优秀的教师应该是个学者和思想家。

四、四个问题

1.讲什么

这部分的主要问题是课堂上如何利用有限的学时，简短地呈现出所讲知识点的精华部分。这部分重要的是要在课堂上构建知识，而不是灌输知识。

传统的数学类课程的教学模式，在课堂上重视知识点本身的讲解，重视巩固知识点的习题讲解，这对培养知识储备型人才是重要的。但这对培养创新性人才是远远不够的。在课堂上对知识点产生的问题驱动及产生过程的研究以及知识点在应用领域的引申和研究都是重要的教学内容，对培养知识创新型人才和知识应用型人才具有重要意义。这些教学内容和人才培养类型之间的关系如图2所示。

图2  教学内容和人才培养类型之间的关系

2.怎么讲

如何才能做到课堂上呈现精华，又如何引导学生重现前人创新过程，如何引导学生研究知识点在应用领域的延伸和提升呢？下面以“概率论与数理统计”课程中的概率公理化定义和“信息理论基础”课程中的事件的信息量定义为例，阐述如何挖掘数学定义产生过程，从而培养学生创新能力。

（1）概率的公理化定义[2，3]

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，满足下列条件：

对于这个定义，只要学生记住这三条，并且学会证明在此基础上建立起的其他概率性质，会利用公理化的三条及其性质解题，知识层面的教学要求就基本达到了，学生的应试需求也就满足了。但是，如果想还原当时的数学家的思想及解决问题的方法就必须澄清两个问题：为什么要给这个公理化定义？公理化定义为什么是这样三条？只有带着这样两个问题去研究，才能将知识的传承向思想和方法的传承方面转变。那么，在课堂教学中，就要简短地介绍前人关于概率各种定义的尝试，这些尝试的意义及存在的问题。

①古典概率定义如下：

几何概率19世纪被人们广泛接受，直到1899年，法国数学家提出“贝特朗悖论”，使得该定义出现了逻辑上的自相矛盾。

③概率的统计定义：

在不变条件下，重复n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P 附近摆动，且一般说，n越大，摆动幅度越小，称常数P为事件A 发生的概率，记P（A）。

统计定义只是描述性的，它刻画了概率的存在性，无法用于进一步的计算和证明。

进一步分析，频率稳定于概率并不能简单地用极限式

来描述，而应该为

该式是用概率定义概率，在逻辑上是矛盾的。

基于上述原因，概率论需要完善自身的理论基础。19世纪末，数学的其他分支，比如代数、几何广泛流行公理化热潮，公理化是把基本概念性质假定成公理，其他结论由它们演绎导出。

1900年希尔伯特在巴黎国际数学家大会上的呼吁：把概率论公理化。由此，概率论公理化成为当时数学及整个自然科学的最迫切的问题之一。直到1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概率论基础》，给出了公理化概率论的一系列基本概念。

因为课堂学时受限，在概率公理化定义的讲解过程中，不可能面面俱到，将其发展过程详细讲解，课上主要的任务是激发学生的研究兴趣，很多详尽的研究可以作为开放性的作业延伸到课堂之外。比如贝特朗悖论的内容是什么？比如在科尔莫戈罗夫提出现在被广泛接受的公理化定义之前，其他数学家做过什么样的尝试？尝试失败的原因是什么？如果课堂上有了适当的引导和激发，学生的研究兴趣还是很高的。

如果学生在研究的过程中遇到困难，教师需要适当引导和辅导。这对教师自身的能力要求是比较高的。

（2）事件的信息量的定义[4]

事件xi发生的概率为p（xi）

定义为xi的信息量。

该定义是1948年，信息论的创始人香农给出的，该定义是信息论这门学科的基础。至于这个定义为什么是这样一种形式，多数教材中并未提及，而这个定义的给出是当时的重大创新工作。因此，引导学生挖掘该定义的产生过程，对培养学生的创新能力有着重要意义。

首先，对于比较抽象的概念，要有直观的感受，从心理学认知角度来讲，信息是有大小之分，一个很少发生的事情当突然发生时，给人的冲击是很大的;反之，经常发生的事情则给人的印象是很淡的。这点很容易理解，比如人们总是津津乐道于小概率事件，小概率事件的发生通常都有大量原因的积累，而小概率事件背后一定有大量的新闻。还有一点也很直观，就是如果两个事件相互独立，那么它们的积事件所包含的信息量应该是各自所包含的信息量之和。认识到这两点，就可以建立事件的信息量的数学模型了。建立数学模型是希望能找到一个关于概率的函数，满足非负性、单调性、可加性、连续性。数学上可以证明，满足以上四个条件的函数是唯一存在的，那就是

香农给的信息量的定义也就顺理成章地被推出来了。这样，这个知识就被构建出来了。当然，证明过程详尽的研究可以延伸到课堂之外，由开放性作业的形式加以补充。

以上仅以两例阐述如何引导学生挖掘数学定义产生过程，重走前人创新之路。另外，引导学生将知识点在应用领域进行提升也很重要。在这两个过程中，会遇到如下问题：一是还原思想历程有时是困难的。经过几百年以后，后代的数学家就都把前人的理论诠释修改，变成了一系列的定理、公理、推论，有时完全看不出前人当时的思想历程。二是应用领域的提升知识点对教师的实际科学研究经历要求较高。直接讲解知识相对比较容易，只有站得高才能真正灵活驾驭知识点。

这部分课堂上呈现知识点的产生过程和应用领域的提升要尽可能地简短。课堂上的主要任务是提出一些具有启发性的问题，激发学生进一步研究的兴趣，布置开放性作业，将进一步的研究延伸到课外。

3.怎么学

学生的学习方法要与教师的教学方法相匹配，做到相互配合，以达到提高数学思维方法、提高应用数学解决实际问题能力的目的。学生以问题为导向的研究型学习方法为主，以试卷为导向的应试学习方法为辅。对课后习题，放弃习题解答，习惯独立思考独立解决问题。与习题的正确答案相比，探索正确答案的过程中积累的经验和教训更重要。另外学生要重视开放性作业的研究，这样教师的教学方法才能产生效果。

4.怎么考

学生对分数还是相当重视的，因为分数直接影响学生以后的去向。所以，在考核环节，要加强试卷以外的过程成绩的管理，尤其是开放性作业的成绩评定。要想调动学生研究开放性作业的积极性，就必须研究如何公平合理地给出开放性作业的成绩。

关于开放性作业，有以下几个环节需要考虑。

（1）开放性作业题目的选择。开放性作业的内容基本上是无法落实在考试卷上的研究性题目，作为提高学生综合素质、提高解决实际问题能力的有益补充。比如课上知识点补充、引申思考问题或证明、知识点产生过程的挖掘、知识点在应用领域的延伸和提升等。选择题目的时候要注意难易适中，太难的题目容易打击学生的研究积极性。另外，允许学生在一定范围内选择自己感兴趣的题目。

（2）开放性作业所占分数比例。开放性作业成绩所占总成绩的比例要适当。开放性作业成绩所占总成绩的比例不能太低，太低不能充分调动学生投入的积极性。因为教师难以掌握学生开放性作业细节问题，做到十分公正地给出成绩，所以如果开放性作业成绩所占比例太高，容易引起学生的不满。笔者的经验是：10%的比例不能引起学生的充分重视，20%的比例开放性作业质量明显提升。

（3）开放性作业完成小组人数。开放性作业通常工作量比较大，比较适合几位同学组成小组，合作完成。同时，小组成员合作完成开放性作业的形式也有助于培养学生的团队合作能力。小组人数太多，容易任务不清，出现互相推诿等问题。笔者的经验是：小组人数不要超过3人。

（4）开放性作业打分和反馈交流。开放性作业的反馈交流是比较困难的一个环节，主要是因为通常数学类课程课堂人数比较多，开放性作业的反馈和交流就要占用很多的时间，尤其是针对研究生考试必考的科目，比如概率论与数理统计，开放性作业的交流占用很多的时间是不现实的。如果仅仅是开放性作业的汇报则相对容易一些，可以给每个小组固定的时间，展示一下自己的作业成果。

比较客观地给出开放性作业的分数也很重要。困难在于组内成员的分数有时难以评定，教师很难全面了解组内的分工和组内成员的实际贡献。如果有充分的时间与每组进行充分的交流，交流的过程中能够看出小组各位同学的贡献。但是，如果学生人数太多，教师要做到与每组都有充分交流是十分困难的事情。如果教师做不到与每组都有充分交流，就要求学生开放性作业的报告中写清楚组内各成员的分工情况，并要求组内的同学互相打分，作为教师给分的主要参考。

五、学生反馈

1.学生抽样调查结果

对2013—2014年第一学期会计专业112位学生进行了抽样调查，共回收有效问卷96份，觉得开放性作业收获很大的占33/96，收获较大47/96，收获一般的占15/96，没什么收获的占1/96。

在开放性作业所占比例环节，有64/96赞成开放性作业所占比例由10%增加至20%，有18/96反对，14/96认为无所谓。

2.学生满意度分析

针对概率论与数理统计课程，笔者连续3年按照前面所述的教学理念和措施进行教学实践。面对不同专业，不同的讲台人数，选取不同的开放性作业比例，学生对教师满意度情况见下表。

学生满意度分析表

由上表的结果可见，当学生人数较少，相应的开放性作业小组人数也较少时，这种教学方式能够得到学生更高程度的认可。

参考文献：

[1] [美]肯·贝恩. 如何成为卓越的大学教师[M]. 北京：北京大学出版社，2007.

[2] 苏淳. 概率论[M]. 北京：科学出版社，2004.

[3] 陈希儒. 概率统计学简史[M]. 长沙：湖南教育出版社，1998.

[4] C. E. Shannon. A Mathematical Theory of Communication[J]. The Bell System Technical Journal， 1948（27）：379-423， 623-656.

[本文为北京市人才培养共建项目-教育教学项目-教育教学改革项目（GJ201415）和北京科技大学2013青年教学骨干人才项目（06200016）阶段性成果]

[责任编辑：余大品]