“圆”来如此

王有茂

摘要：用解析几何方法系统研究阿波罗尼斯圆的定义和性质，结合高考试题阐述阿波罗尼斯圆的定义和性质在解高考试题中的应用.

关键词：阿波罗尼斯圆 定义 性质 应用

阿波罗尼斯圆，一直是高考的热点问题，很多同学却很难应对，实际上，它在各种版本的高中数学教材中都有体现，但往往被老师们和同学们忽视，那么阿波罗尼斯圆是如何定义的？到底有哪些性质？又如何运用呢？这里本人从解析几何的角度，将自己的一些粗浅认识与大家一起分享：

一、阿波罗尼斯圆的定义：

平面内到两定点的距离之比为定值（不为1）的点的轨迹是一个圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）发现，故称阿波罗尼斯圆（又把它叫做圆的第二定义）.

简单证明：

设两定点为、，，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图1所示坐标系，则，设动点到两定点的距离之比为定值，则，化简得（*）

（1）当时，，所以（*）式表示直线（是线段的垂直平分线）.

（2）当时，，且，所以（*）式表示一个圆，圆心为，半径为.

直接应用定义的高考试题很多，如：

江苏2013年，第17题：如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.

（1）（略）;（2） 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

北京2003年春季高考，第20题：设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹。等等.

二、阿波罗尼斯圆的性质

性质1：阿波罗尼斯圆的圆心在直线（为定点）上，设分别为线段按定比分割的内分点和外分点，则为该圆的直径，直径.（由定义证明易得，证明略）

性质2：设是圆上的一点（不与重合），则是三角形的内、外角平分线，（由平面几何知识易得，如图2）.

性质3：当变化时，过的中垂线上任意给定的一点，作圆的切线，切线长都相等.

证明：由定义证明得圆心为，半径为，设，则切线长为为定值.

实际上，对于两个不同的得到的两圆，

圆（1），圆（2）

得，即为的中垂线，这说明的中垂线为圆与圆的根轴，这样，这一性质也就不难理解.

反过来，对于给定的圆和一定点（不在圆上且不与圆心重合）以及定值，是否存在另一定点，使得定圆上的任意一点到两定点的距离之比为呢？

设定圆O的方程为，定点为（不在圆O上且不与O重合），给定的比值，下面探究是否存在一点，使得圓上任意一点，都有.

假设存在，设，则，

化简得：，

由代入得：，

由对上的任意点上式恒成立得：

，即.

当所给的点和值不满足满足时，不存在点.

当所给的点和值满足时，存在点，此时，，

因为，所以，（3）

又，，所以（4）

由（3）、（4）可知性质4：只要给定圆和定点（不在圆上且不与重合），则一定存在唯一一个定值和一个定点，使得对于圆上的任意一点都有，且，半径是、的比例中项（如图3）.若圆心不在坐标原点，则可以通过平移变换得到.

如果掌握这一性质， 2014年湖北卷（文）第17题就显得非常简单了.

已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则

（Ⅰ） ; （Ⅱ） .

解：半径1是、比例中项，，则，又、同向，所以，再由得（或用特殊点到点与到点的距离之比）.

可以肯定，今后的高考阿波罗尼斯圆仍然是高频热点问题，除了因为圆是高考的重要内容之外，还因为它还充分体现了数学的文化气息，掌握它的性质一定会对解决这类问题，起到事半功倍的效果.