巧用二次函数图象及性质解相关高考试题

刘海青

摘 要：函数是高中数学的灵魂，尤其是二次函数贯于穿整个高中数学，是每年必考的内容。通过它可以研究函数的很多性质，并且与不等式、数列等有着广泛的联系。

关键词：二次函数;图象;性质;应用;解题规律

函数是高中数学的灵魂，尤其是二次函数贯穿于整个高中数学，是高考必考的内容。通过它可以研究函数的很多性质，并且与不等式、数列等有着广泛的联系。本文主要通过二次函数在高中数学中的应用进行归类，以揭示二次函数的解题规律。

一、最值问题

一般先用配方法化为y=a（x-m）2+n的形式，得顶点（m，n）和对称轴x=m，结合二次函数图象求解，常见的有三种类型：

（1）顶点固定，区间也固定;

（2）即顶点为动点，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外;

（3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。

例：函数f（x）=x2+2mx+m2-m-，当x∈（0，+∞）时，恒有f（x）>0，求m的取值范围。

思路点拨：此题为动轴定区间问题，需对对称轴进行讨论。

解：f（x）=（x+m）2-m-

当-m≤0即m≥0时，f（0）≥0？圯m2-m-≥0，∴m≥;

当-m>0即m<0时，-m->0，∴m<-3.

综上得：m<-3或m≥.

点评：分类讨论要做到不漏掉任何情况，尤其是端点处的数值不可忽视，最后结果要取并集。

二、一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题

在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数图象数形结合来解，一般从二次函数的四个要素来考虑：开口;区间端点函数值符号;对称轴;Δ。

例：已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

解析1：函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，即方程f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解。

a=0时，不符合题意，所以a≠0，方程f（x）=0在[-1，1]上有解？圳f（-1）·f（1）≤0或

af（-1）≥0af（1）≥0Δ=4+8a（3+a）≥0？圳1≤a≤5或a≤或a≥5？圳 a≤或a≥1-∈[-1，1]

点评：通过數形结合来解决一元二次方程根的分布问题。

三、在不等式方面的应用

1.一元二次不等式恒成立问题

（1）在R上恒成立——利用开口及Δ;

（2）在某区间上恒成立——变量分离或画图利用四要素或转化二次函数最值。

例：（2009年江西卷文17）设函数f（x）=x3-x2+6x-a.

对于任意实数x，f ′（x）≥m恒成立，求m的最大值。（节选）

解析：f ′（x）=3x2-9x+6，∵对？坌x∈R，f ′（x）≥m，即3x2-9x+（6-m）≥0在x∈R上恒成立，∴Δ=81-12（6-m）≤0，得m≤-，即m的最大值为-.

例：（2009年全国卷II文21）设函数f（x）=x3-（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a>1，若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。

分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出a的范围。

解：当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值。

f（2a）=（2a）3-（1+a）（2a）2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a;f（0）=24a，则由题意得a>1f（2a）>0f（0）>0，解得1

四、在数列方面的应用

利用二次函数的性质来解答等差数列的前n项和有关最值问题比用其他知识简单。

例：（2010新课标17）设等差数列an满足a3=5，a10=-9。

（1）求an的通项公式;（2）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

解：（1）（略）;（2）Sn=na1+d=10n-n2=-（n-5）2+25，所以n=5时，Sn取得最大值。

二次函数有丰富的内涵与外延。作为最基本的幂函数，以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，还与不等式、数列等有着广泛的联系。因此，二次函数可以称为高中数学的灵魂。

？誗编辑 王梦玉