周期函数和、差、积、商函数的最小正周期的计算方法

曾凤 刘其

摘要：通过研究了若干个具有最小正周期的周期函数经四则运算后得到的周期函数的一个正周期的计算方法，但并没有给出它们的最小正周期的计算方法，该文分别定义及基本原理、周期函数的四则运算这几个方面，从给出了如何求若干个具有最小正周期的周期函数经四则运算后得到的周期函数的最小正周期的一种计算方法，并给出了几个实例。

关键词：周期函数 四则运算 最小正周期 计算方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）05（b）-0246-02

文献[1]～[6]研究了若干个具有最小正周期的周期函数经四则运算后得到的周期函数的一个正周期的计算方法，但并没有给出它们的最小正周期的计算方法，该文给出了如何求若干个具有最小正周期的周期函数经四则运算后得到的周期函数的最小正周期的一种计算方法，并给出了几个实例。

1 定义及基本原理

定义1[1]：设是定义在数集上的函数，如果存在常数，对都有，且成立，则称为周期函数，常数叫做的一个周期。

定义2[1]：周期函数的正周期中最小的一个，叫做函数的最小正周期。

周期函数不一定有最小正周期，如常函数，狄利克雷函数都是周期函数但没有最小正周期，当一个函数具有最小正周期时，研究它的性质就可局限在最小正周期内进行讨论。

下面给出两个正实数的最小公倍数的定义。

定义3：设有正实数，及，若满足，，，且，则称为，的最小公倍数，记为.

注：1°。

定理1：正实数，有最小公倍数的充要条件是为有理数。

证充分性：因为为有理数，那么就存在，，使，即，现令，显然有，，由定义3可知，为，的最小公倍数。

必要性：因为正实数，有最小公倍数，不妨设为，由定义3，存在，，使，，即，证得为有理数。

定理2[2]：设函数是不为常数的连续周期函数，则必有最小正周期。

定理3：如果函数具有最小正周期，则的任一正周期一定是的正整数倍，即存在一个正整数，使.

由定理3不难得到下列推论。

推论1：已知是的周期，若存在最小正周期（设为），那么，一定存在，使。

2 周期函数的四则运算

两个周期函数的和、差、积、商函数未必是周期函数，如，那么哪種情况下才能使两个周期函数的和、差、积、商函数仍然是周期函数呢？

定理4[1]：设，分别是集合上以和为最小正周期的周期函数，那么，，，（）为周期函数当且仅当为有理数，若它们为周期函数，则必为它们的一个周期。

注：2°两个具有最小正周期的周期函数的和、差、积、商函数既使是周期函数，也未必有最小正周期，如为常值函数，没有最小正周期.

3 实例

例1：设函数，，为非零整数，那么，当为奇数时的最小正周期为，当为偶数时，其最小正周期为。

证：因为是以为最小正周期的周期函数，由定理4可知，也是以为周期的周期函数，再由推论1可知，的最小正周期为（），m故对，有：

（1）

在（1）式中，取代入，得：

（2）

考虑②式，当为奇数时，两边开次方，得，只能，对应的最小正周期就是。

当为偶数时，两边开次方，得，，当时，，所以，是（为偶数）的一个周期，故当为偶数时，的最小正周期为。

例2求的最小正周期。

解：易知的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，由定理4可知，为的一个周期，故由推论1可设的最小正周期为（），即，有

（3）

在（3）式中，取代入，得

（4）

当≥6时，，不满足（4）式.

容易检验都不满足（4）式；时，（4）式成立。

再取代入（3）式，得：

（5）

当时，（5）式成立；当时，容易检验（5）式不成立.

综上可知，，故的最小正周期为。

例3：求的最小正周期。

解：易知的最小正周期为，的最小正周期为，由定理4可知，为的一个周期.故由推论1可设的最小正周期为（）.下面我们来求。

因为为的周期，那么，对，有

即

（6）

取代入（6）式，得

（7）

时上式成立，当时，对（6）式，有

上式显然不是对任意的都是成立的，因为当时，上式左边趋近于，而右边趋近于0.对，同理可知（6）（式不成立。

将代入（7）式，明显不成立。

对于（7）式，现在我们来考虑≥7的情形。

不妨令 （8）

所以，（8）式对于当≥7来说是严格单调减少的，而，当时，，所以，对任意的≥7来说，。

综上可知，只有当时（6）式成立，故函数的最小正周期为。

参考文献

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