幂指函数导数的计算方法探讨

李宏杰

摘 要：幂指函数具有特殊的结构，既不是幂函数也不是指数函数，但与幂函数与指数函数有一定的关系。对于幂指函数的求导问题，初学者往往会套用幂函数或指数函数的求导公式，从而发生错误。我们知道，对函数大部分性态的研究，离不开其导数。因此，很有必要对幂指函数导数的计算方法进行探讨。该文对幂指函数的结构进行剖析，给出了四种求幂指函数导数的方法：指数求导法、对数求导法、“叠加”求导法和偏导数求导法，并揭示了幂指函数与幂函数及指数函数导数间的关系。最后，通过实例验证了我们给出求导方法的有效性。

关键词：幂指函数 导数 对数函数 偏导数

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）05（b）-0020-02

1 幂指函数相关的定义

定义1形如的函数称为指数函数。它是一类重要的基本初等函数，在定义域内单调且无上界。

定义2形如（为常数）的函数称为幂函数。幂函数也是一类非常重要的基本初等函数。

定义3形如的函数称为幂指函数。

从形式上看，幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者特点兼而有之。当为常数，为变量时，幂指函数就退化为具有指数函数的形式；当为变量，为常数时，幂指函数就退化为具有幂函数的形式。从下文可以看出，这三个函数的导数之间有一定关系。

2 幂指函数的求导方法

2.1 指数求导法

利用对数恒等式先将幂指函数化为指数函数形式，然后利用复合函数求导法

求导，具体过程如下：

2.2 对数求导法

将两边取自然对数，我们有，然后使用隐函数求导法则，两边同时對求导，可得

从而有

2.3 “叠加”求导法

将幂指函数的求导问题转化为指数函数与幂函数的求导问题。首先，将幂指函数看作指数函数，利用指数函数求导公式进行求导，可得其导数为；其次，再把幂指函数看作幂函数，利用幂函数求导公式进行求导，可得；最后，把上面得到的两个结果相加即可得到幂指函数的导数

。

上面的结果，可以利用导数的定义证明，其证明过程如下：

证明：由导数的定义，有

其中

从上面的式子可以看出，即为把幂指函数看做幂函数时求解的导数，下面证明为把幂指函数看作指数函数时求解的导数，令，则有

由于，因此

所以

命题得证。

2.4 偏导数求导法

将幂指函数看作由，，复合而成，利用二元函数求全导数的方法，可得

利用上面的四种方法，均可以求出幂指函数的导数，而且也可以利用幂指函数的求导方法或结果，求出指数函数或幂函数的导数，即指数函数和幂函数的导数，是幂指函数导数的特例。

3 应用举例

求幂指函数的导数。

3.1 指数求导法

解：

3.2 对数求导法

解：将等式两边同时取自然对数

利用隐函数求导法则，两边同时对求导

整理得

3.3 “叠加”求导法

解：把看做幂函数求导，其导数为；将看作指数函数求导，其导数为，因此幂指函数的导数为

3.4 偏导数求导法

解：将幂指函数看作由，，复合而成，利用二元函数求全导数的方法，可得

4 结语

幂指函数是高等数学中一类非常重要的函数，对其性态的研究离不开它的导数，本文对幂指函数的求导方法进行了归纳和总结，有利于学生多方位、多途径去分析和思考问题。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007：77-125.

[2] 何冬梅.幂指函数的一种很直接的求导方法[J].保山师专学报，2009，28（2）：26-27.

[3] 陈海峰.幂指函数的求导方法[J].包头职业技术学院学报，2011，12（3）：42-43.