例析数学方法在物理极值问题中的应用

周晓强

【关键词】 物理教学;数学方法;极值

【中图分类号】 G633.7 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004—0463（2015）18—0121—01

高考对物理学科能力的考查有五项，其中一项就是利用数学方法解决物理问题的能力.物理中有一类极值问题常常利用数学技巧进行分析求解，下面列举几种常见情况.

一、利用一元二次方程求根判别式法

在求列出方程数少于未知量个数的物理极值问题中，如果方程组经过联立整理得到一个关于某一未知量的二元方程，可根据该物理量是否存在实数解，利用判别式应满足条件Δ≥0，列出新关系式，解决未知量多于方程组而无法求解的问题.

例1 如图1所示，一定质量理想气体，由状态A沿直线变化到状态B.已知TA=300K，求理想气体在状态变化过程中最高温度是多少？

解：由理想气体状态方程：PV=nRT，已知PA=3×105Pa，TA=300K，VA=1m3，解得nR=103J/K

PV=103（J/K）×T （1）

由图象得：

P=-105（Pa/m3）×V+4×105（Pa） （2）

将（2）式代入（1）式整理得：-V2+4V-0.01T=0，体积V为实数，故Δ≥0，即16-4×0.01T≥0.解得T≤400K，故理想气体在状态变化中最高温度为Tm=400K.

二、利用三角函数

若所求物理量表达式为y=Asinθcosθ或y=asinθ+bcosθ+c形式，由三角关系式可变形为：y=sin2θ或y=sin（θ+φ）+c.

例2 如图2，几个倾角不同的光滑斜面具有共同的底边AB，当物体沿不同倾角斜面从顶端滑到底端。下列说法正确的是（）

A.倾角为30°时所需时间最短 B.倾角为45°时所需时间最短

C.倾角为75°时所需时间最短 D.所需时间相同

解：设任意倾角为θ，底边长为L，斜边长为x=.

对物块受力分析：由牛顿第二定律：

mgsinθ=ma，a=gsinθ.由x=at2得t==，其中sinθ·cosθ=sin2θ.当θ=45°时，sin2θ=1最大，t最小，其值为tmin=，答案为B.

三、利用几何方法

如果三个矢量构成三角形的三个边a、b、c，a边表示一个大小和方向都确定的矢量，b边表示一个方向已知（a与b的夹角为θ），大小未知的矢量，c边表示一个大小、方向都未知的矢量。则当c矢量与b矢量垂直时，c矢量有最小值.

例3  如图3所示，力F作用于物体O点，现要使作用于物体的合力沿OO′方向，需要再作用一个力F1，则F1的最小值为（）

A.F1=Fsina B.F1=Ftana C.F1=F D.F1

解：利用矢量图形法，根据力的三角形定则，作F1、F与合力F合的示意图.F1的箭尾位置不变的情况下，其箭头可在OO′上滑到.由右图知，当F1与OO′即F合垂直时，F1有最小值，其值为F1=Fsina，答案为A.

四、利用求导方式求极值

对于函数y=f（x），当f′（x0）=0解得：x=x0时，y有极值.例如，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y′=2ax0+b=0，及当x=x0=-时，y=.

例4 如图4，长为l的细绳一端系一个质量为m的小球，另一端固定在O点.现将细绳拉直，让小球静止开始运动.试求出小球在运动过程中速度竖直分量最大位置，并求出最大值.

解：释放小球后，小球做圆周运动.设小球运动至细绳与水平方向夹角为θ时，速度为ν，竖直分量为ν⊥.

由动能定理mglsinθ=，解得ν=，ν⊥=νcosθ=cosθ

构建函数：ν⊥2=2glsinθ·cos2θ，令y=ν⊥2=2glsinθ·cos2θ，求y′.

y′=2gl（cos3θ-2sinθ·cos2θ），当y′=0时，解得tanθ=，即θ=arctan时有最大值为ν⊥=.

编辑：谢颖丽