超富足半群及其子类

雪静，任学明

（西安建筑科技大学数学系，陕西西安710055）

超富足半群及其子类

雪静，任学明

（西安建筑科技大学数学系，陕西西安710055）

借助半群的Malcev积和公理化条件，对超富足半群及其子类进行了刻画，给出了超富足半群及其子类的若干特征.

超富足半群；可消幺半群；Malcev积；同余

1　引言

为了深入研究广义正则半群，人们引入了如下的广义格林关系.令S为一半群，a，b为S的任意两个元素.则定义

容易验证，L⊆L∗和R⊆R∗，其中L和R为半群S上通常的格林关系.特别地，当a，b为正则元时，（a，b）∈L∗，当且仅当（a，b）∈L.对偶地，（a，b）∈R∗，当且仅当（a，b）∈R.用H∗表示L∗和R∗的交，即H∗=L∗∧R∗；用D∗表示L∗和R∗的连，即D∗=L∗∨R∗.半群S称为富足半群，如果S的每一L∗-类和每一R∗-类都含有幂等元.半群S称为超富足半群，如果S的每一H∗-类含有幂等元.据文献［1］，易知正则半群是富足半群，完全正则半群是超富足半群.

超富足半群作为完全正则半群在富足半群类中的推广，它的研究受到人们的广泛关注［1-2］.本文将利用半群的Malcev积和公理化条件，对超富足半群及其若干子类进行研究，并给出这些子类的特征刻画.

为了方便陈述，首先引入以下半群类及记号：

令A表示某些半群构成的类.半群S上的一个同余ρ称为A-同余，如果商半群S/ρ属于A；半群S上的一个同余ρ称为在A上的，如果每一个幂等的ρ-类属于A.假设A和B分别为半群所构成的类，那么A和B的Malcev积是指具有一个B-同余ρ，且ρ是在A上的半群构成的类，记为A◦B，即A◦B=｛S∈S|半群S上存在一个B-同余ρ，且ρ是在A上的｝.文中未给出的符号和术语见文献［3-8］.

2　若干准备

令S为一半群.假设ρ为S上的等价关系，用aρ表示元素a所在的ρ-类.称半群S带有一元运算，如果存在一个映射ρ♮：S→S，使得关于任意a∈S，其中a0表示aρ的恒等元.本文总假定S为带有一元运算的半群.显然a0ρa，且关于任意x∈aρ，有xa0=a0x=x，特别地，a=aa0=a0a.此外，由文献［1］知，任意超富足半群S总可表示为完全J∗-单半群Sα（α∈Y）的半格，即S=（Y；Sα）.

为了便于对超富足半群S及其子类进行刻画，罗列下面的公理条件：

下面先给出关于半群S的一个基本引理.

引理2.1令S为一半群.则下述各款成立：

（i）S∈M◦B，当且仅当S满足公理条件（C1），（C2）及（C5）；

（ii）S∈M◦SL，当且仅当S满足公理条件（C1），（C2），（C5）及（C8）；

（iii）S∈M◦ReB，当且仅当S满足公理条件（C1），（C2），（C5）及（C7）.

下述定理给出了超富足半群的一个刻画.

定理2.1半群S是超富足半群，当且仅当S满足公理条件（C1）-（C4）.

证明（⇒）假设半群S为超富足半群，且a∈S.用a0表示H∗a的唯一幂等元.显然，a=a0a=aa0和a0=a00.因此，公理（C1），（C2）成立.又因aL∗a0和aR∗a0，据L∗和R∗的定义，有公理（C3），（C4）成立.

（⇐）令a∈S.因半群S满足公理（C1）和（C2），则有a0=a0a00=a0a0=（a0）2.从而a0∈E（S）.若关于任意x，y∈S1，a0x=a0y，由S满足（C1），知ax=aa0x=aa0y=ay.又由半群S满足公理（C3），从而aL∗a0.类似地，可证aR∗a0.因此aH∗a0，这表明S是超富足半群.

现建立关于超富足半群的下述引理.

引理2.2［1］令S是超富足半群.则下面结论成立：

（i）关于任意a∈S，aH∗a0；

（ii）如果H∗a是半群S的子半群，则H∗a∈C；

（iii）关于任意a，b∈S，aH∗b，当且仅当a0=b0；

（iv）L∗◦R∗=R∗◦L∗=D∗.

现在，考虑超富足半群S的一个重要子类，即H∗为S上同余的情况.

引理2.3令S是超富足半群，且H∗是同余.则关于任意a，b∈S，有

（i）aL∗b，当且仅当aH∗LbH∗；

（ii）aR∗b，当且仅当aH∗RbH∗；

（iii）aD∗b，当且仅当aH∗DbH∗；

（iv）S∈（C◦RB）◦SL.

这里，L，R和D分别表示商半群S/H∗上的格林关系.

3　主要结果

本节将给出超富足半群某些子类的若干特征.

定理3.1令S为一半群.则下列各款等价：

（i）S∈C◦B；

（ii）H∗是一个B-同余，且是在C上的；

（iii）S为超富足半群，H∗是同余；

（iv）S满足公理条件（C1）-（C5）.

证明（i）⇒（ii）假设S∈C◦B.则在S上存在一个B-同余ρ，且ρ是在C上的.因此，关于每个a∈S，aρ是商半群S/ρ的幂等元，且每个aρ是S的一个可消幺子半群.令a0表示aρ中的恒等元，显然，aρa0.现令aH∗b.则aL∗b.由a=aa0和L∗的定义，得b=ba0.因ρ为同余，则baρba0.类似地，据aR∗b和b=b0b，得a=b0a.从而a=b0aρbaρba0=b.因此，H∗⊆ρ.反过来，令aρb.显然，aρa0.假设关于任意x，y∈S1，ax=ay.由ρ为同余，得a0xaρaxaρ（ax）0a及a0yaρayaρ（ay）0a.但

从而，

注意到（a0xa）ρ为一个可消幺半群，则由（ax）0aa0xa=（ay）0aa0ya和（ax）0a=（ay）0a，得a0xa=a0ya.这蕴含a0xay=a0yay.再由a0xρax=ayρa0y及（a0x）ρ为一个可消幺半群，得a0x=a0y.显然，若a0x=a0y，则ax=aa0x=aa0y=ay.因此，aL∗a0.类似地，有bL∗b0.但b0=a0，因此aL∗b.类似地，可证aR∗b，从而aH∗b.这样，有ρ⊆H∗.因此，ρ=H∗.且H∗是S上的一个B-同余，每个H∗-类都是可消幺半群.

（ii）⇒（iii）显然.

（iii）⇒（iv）因为S是超富足半群，由定理2.1可知，S满足公理（C1）-（C4）.又由引理2.2（i）可知，关于任意a，b∈S，有aH∗a0，bH∗b0.又H∗是同余，则有abH∗a0b0.据引理2.2（iii），有（ab）0=（a0b0）0，即公理（C5）成立.

（iv）⇒（i）因S满足公理（C1）-（C4），由定理2.1，知S是超富足半群.由引理2.2（i），知关于任意a，b∈S，有aH∗a0和bH∗b0.又因S满足公理（C5），则（a0b0）0=（ab）0.因此据引理2.2（iii），得abH∗a0b0，这蕴含H∗是S上的一个同余.据引理2.2（ii），知关于任意a∈S，H∗a∈C.进一步，关于任意a∈S，aH∗=a0H∗=（a0）2H∗=（a0H∗）2=（aH∗）2，即商半群S/H∗构成带.因此，S∈C◦B.

定理3.2令S为一半群.则下列各款等价：

（i）S∈C◦SL；

（ii）S是可消幺半群的强半格；

（iii）H∗是S的一个SL-同余，且是在C上的；

（iv）S为超富足半群，H∗是同余，且S的幂等元在它的中心里；

（v）S满足公理条件（C1）-（C6）.

证明（i）⇒（ii）假设S∈C◦SL.则存在一个半格同余ρ，使得S=（Y；Sα），其中Y∈SL为半格，Sα∈C为可消幺半群.现记eα为Sα的恒等元，且关于α，β∈Y，α≥β.则关于任意a∈Sα，有eβa∈Sβα=Sβ.因此定义映射Φα，β：Sα-→Sβ如下：

易知（2）式是有意义的.关于任意α∈Y及a∈Sα，aΦα，α=eαa=a，从而Φα，α为Sα上的恒等映射.现证Φα，β为一个半群同态.关于任意a∈Sα，显然，eβa∈Sβ.因eβ是Sβ的恒等元，则eβa=eβaeβ，从而

下面证明Φα，βΦβ，γ=Φα，γ.假设α≥β≥γ.则关于任意a∈Sα，

故Φα，βΦβ，γ=Φα，γ.又关于任意a∈Sα，b∈Sβ，有ab∈Sγ，其中γ=αβ.从而，

这证明了S=［Y；Sα；Φα，β］，即S为可消幺半群的强半格.

（ii）⇒（iii）令S=［Y；Sα；Φα，β］，其中Y∈SL，Sα∈C，且eα为Sα的恒等元.关于任意a∈Sα，b∈Sβ，假设aH∗b.显然，aR∗b.由a=eαa，有b=eαb.类似地，a=eβa.因此α=β，即有a，b∈Sα.反过来，假设a，b∈Sα.若关于任意x，y∈Sα1，ax=ay.显然，有aeαx=aeαy.由于Sα为可消幺半群，从而eαx=eαy.由此，beαx=beαy，即bx=by.类似地，若bx=by，则ax=ay.因此，aL∗b.类似地，可以证明aR∗b.这样，有aH∗b.实际上，证明了关于任意a，b∈S，a，b∈Sα，当且仅当aH∗b.因此H∗是S上的一个SL-同余，且它是在C上的.

（iii）⇒（iv）显然S是超富足半群及H∗是同余.由（iii）知，S/H∗是半格.则关于任意a∈S，e∈E（S），显然aeH∗ea.从而aeL∗ea.又由ae=aee，得ea=eae.类似地，可证ae=eae，从而ae=ea，即S的幂等元在它的中心里.

（iv）⇒（v）因S是超富足半群，且H∗是同余，由定理3.1，知S满足公理条件（C1）-（C5）.又由假设，S的幂等元在它的中心里，知S满足公理（C6）.

（v）⇒（i）因S满足公理条件（C1）-（C5），由定理3.1，知S∈C◦B，且H∗是同余.又由S满足公理（C6），即∀a，x∈S，ax0=x0a.从而（aH∗）（x0H∗）=（ax0）H∗=（x0a）H∗=（x0H∗）（aH∗），又aH∗=（aa0）H∗=（aH∗）（a0H∗）=（a0H∗）2=（aH∗）2.易知每个H∗-类为可消幺半群.因此，S/H∗∈SL.这证明了S∈C◦SL.

定理3.3令S为一半群.则下列各款等价：

（i）S∈C◦ReB；

（ii）H∗是ReB-同余，且是在C上的；

（iii）S为超富足半群，L∗和R∗均是同余；

（iv）S满足公理条件（C1）-（C5）和（C7）.

证明（i）⇒（ii）类似于定理3.1（i）⇒（ii）的证明.

（ii）⇒（iii）易知，S为超富足半群.由（ii），知商半群S/H∗为正则带.据文献［5］，知商半群S/H∗上的关系L和R均为同余.由引理2.3（i）和（ii），得S上的关系L∗和R∗均为同余.

（iii）⇒（iv）由（iii），知S是超富足半群及H∗为S上的同余.又据定理3.1，知S满足公理条件（C1）-（C5）.又因L∗和R∗为同余，据引理2.3（i），（ii），知商半群S/H∗上的关系L和R均为同余.从而由文献［5］，得S/H∗是正则带.因此，关于任意a，x，y∈S，

从而，（axya）H∗=（axaya）H∗.据引理2.2（iii），有（axya）0=（axaya）0，即公理（C7）成立.

（iv）⇒（i）因S满足公理条件（C1）-（C5），由定理3.1，知S∈C◦B，且H∗是同余.又由S满足公理（C7），即∀a，x，y∈S，（axya）0=（axaya）0.据引理2.2（iii），有（axya）H∗=（axaya）H∗，从而（aH∗）（xH∗）（yH∗）（aH∗）=（aH∗）（xH∗）（aH∗）（yH∗）（aH∗）.这蕴含S/H∗∈ReB.另易知每个H∗-类为可消幺半群.因此S∈C◦ReB.

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On superabundant semigroups and its subclasses

Xue Jing，Ren Xueming

（Department of Mathematics，Xi′an University of Architecture and Technology，Xi′an 710055，China）

By using malcev product of semigroups and axiomatic conditions，we describe superabundant semigroups and its several subclasses.Some characterizations of these semigroups are given in this paper.

superabundant semigroups，cancellative monoids，malcev products，congruences

O152.7

A

1008-5513（2015）06-0636-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.012

2015-04-15.

国家自然科学基金（11471255）.

雪静（1988-），硕士生，研究方向：半群代数理论.

2010 MSC：20M10