从“是否要画线段图”说开去

朱峰　许光新

前些日子，笔者执教了六年级上册《解决问题的策略—假设》。教材提供了例题：“小明把960毫升果汁倒入6个小杯和2个大杯，正好都倒满。已知小杯容量是大杯的三分之一，小杯和大杯的容量各是多少毫升？”在备课时，笔者对新老教材进行分析比较，发现在用画图方法解决问题的思路展现上，新教材（2014版）与老教材（2014版前）编排有如下区别：

新教材在用实物图表示替换过程的基础上新增了画线段图理解替换关系的方法。对于这一环节，笔者的教学过程如下：

（在理解题意之后学生寻找解决问题的思路）

（1）画实物图理解替换关系

生1：我画的是实物图。1个大杯可以看作3个小杯。

师：为什么1个大杯可以看作3个小杯？

生：因为根据“1个大杯的容量是小杯的3倍”，就可以把1个大杯看作3个小杯。

师：1个大杯可以看作3个小杯，那么如何把原来含有两个未知量的数量关系式改写成含有一个未知量的数量关系呢？

生：6个小杯的容量+6个小杯的容量=960毫升

（2）画线段图理解替换关系

师：除了用画实物图的方法表示小杯和大杯的关系外，我们还可以用一小段线段来表示1个小杯。（多媒体出示： ）

那么1个大杯怎样用线段表示呢？

生：1个小杯1小段，1个大杯是小杯的3倍，所以可以用3小段表示1个大杯的容量。（多媒体出示： ）

师：6个小杯和1个大杯的容量会用线段表示出来吗？

学生经过思考，按题意整理出如下线段图：

师：线段作为一种数学符号，它也可以表示大杯、小杯的容量及它们之间的关系，画线段图是数学学习中最常用的方法。

【教后反思】评课时，听课教师们意见不一，引起了一番争论。有教师认为画图只是帮助学生理解题意，不要在画图方法上多费口舌，就如老教材那样画出实物示意图，从而通过假设转化问题，寻找到简单的数量关系就可以了，采用画线段图的方法是多此一举。也有教师认为，不管是画线段图还是实物图都是理解大杯小杯如何进行替换的思考方式，而实物图相对线段图更为直观，所以重点应该是对实物图的理解。观点的碰撞，带来的是更深入的研究和思考。不可否认，实物图是学生解决这个问题时最直观、最简易的思维方式，也不排除一部分学生在当下和未来或许依然会习惯于实物图的表现形式，但正如郑毓信所说的“我们应帮助学生清楚地认识超出生活经验（日常数学）并上升到‘学校数学的必要性”那样，从数学本身的发展、符号意识的培养、增强学生的数学目光等方面分析。笔者认为教学中还是要适度重视培养学生用画线段图的方法去解决问题的意识和习惯。

一、从假设策略的形成来说

用实物图来表达实际问题的数量关系是极其直观形象的，但仅仅停留于使用这种方式，虽然能找出问题的答案，但却并不利于帮助学生形成假设的策略，因为其间缺失了抽象化的过渡，即从形象跨越到抽象的一座桥梁。而线段图恰恰充当了这一角色，它具有既不失形象，但又高于形象的特性，在实物图和假设策略的形成之间系上了纽带，顺着这一纽带，学生能够准确地把握替换依据，顺利地找到假设的思路去解决问题，体会到假设方法的好处，从而有效地促进假设策略的形成。

二、从数学符号向简洁化发展、表述向精练化发展来说

有学者指出，中国古代数学为何进展缓慢，其重要原因并非数学语言不抽象而是太烦琐，虽然运用了一些符号表达数学概念与公式，但在很长时间内没有向更简洁的数学符号进化。我们完全可以想象，当头脑进行数学思维的时候，如果还要被杯子的大小、货车的形状这些非数学本质的因素所拖累，那么必然会增加思维的消耗，不利于效率的提高。因此，尽管一个杯子的简笔画 可以代表一个实物杯子，然而和线段相比，绘制的便捷性依然不如后者。而且线段妙就妙在不需要考虑实物的外观和大小，任意画一条就能表示一个数量，很方便。特别是“1个大杯可以看作3个小杯”的关系，在实物图中需要画出1个大杯，并且用虚线框出来，再画箭头，最后画出3个小杯。而线段图只需画出三小段连接而成的线段即可，既表示1个大杯的容量，又反映了大杯和小杯容量之间的关系，简洁明了。这样可以使学生的思维完全聚焦在数量关系的本质上，线段图作为一个良好的符号标记法，使学生头脑摆脱了不必要工作的负担和约束，提高效率使它集中于更有思维价值的问题。

三、从数学符号的抽象化、概括化来说

线段图是半直观、半抽象的产物，一般来说，线段图还具有较强的通用性，即将具体事物的数量关系抽象概括成线段图来表示。在解决例题时，应该说“实物图”体现了其直观的特性，1个大杯换成3个小杯，3个小杯看作1个大杯，6个小杯看作2个大杯，数据凑巧，替换方便。但是在“练一练”中，1把椅子的价格是桌子的五分之一，4把椅子看作多少张桌子呢？如果是实物图，很难表示出这个关系，因为4把椅子的价格没有办法换成1张桌子的价格，只能看作1张桌子五分之四的价格。但是如果用一小段线段表示1把椅子的价格，1张桌子就是五小段，4把椅子的价格就可以画成四小段，4把椅子和1张桌子价格之间的关系也就一目了然了。另外，在“解决问题”的教学中，各种生活情境中的具体事物纷繁复杂，用实物图来表示数量关系显然是不可能也不现实的。此时，线段“百搭”的身份就愈加凸显，因为几乎所有的数量都可以用线段来表示，几乎所有的数量关系在线段图上都可以清晰地表达出来。学生如果能够熟练掌握线段图的方法，那就相当于掌握了分析题意、解决问题的思维“利剑”。

总之，让学生形成数学意识是数学思维的最高境界，在这样的目标驱使下，我们应该意识到数学教学要让学生建立一个较好的能反映问题本质的数学模型，也就是要让学生形成数学化的抽象过程。把1个小杯的容量抽象成一个单位线段，1个大杯就可以抽象成三个单位线段的组合体，当学生用线段图替代实物图的时候，和实物图比，他们的思维就包含了更强的抽象化意识、符号意识以及模型意识，因此思维的层次和原来相比也有了更高的提升。这对形成数学再生与创造的品格和用来解决挑战性问题的能力的品格是十分有利的。

许光新，男，1956年9月生，中学高级教师，江苏省小学数学特级教师，任江苏省无锡新区实验小学校长，曾在中国人民大学复印资料、《人民教育》等公开发行刊物转载或发表文章100多篇，主持的江苏省教育规划重点课题获江苏省教育厅首届、第二届教育成果一等奖。

朱峰，小学高级教师，江苏省无锡新区教科研带头人，无锡市教学能手，任无锡新区实小教科室主任。曾获江苏省数学会课一等奖、无锡市数学会课一等奖、无锡市教师教学技能大赛特等奖、江苏省信息技术基本功大赛一等奖、无锡市信息技术会课一等奖等。多年的磨练，形成了他“睿智、促思、幽默”的教学风格，撰写的数十篇论文在《小学数学教师》《江苏教育研究》等刊物上发表或在各级各类比赛中获奖。