关于孪生素数猜想的一个证明

张跃

【摘 要】根据计算机的整数取值有限，本文提出了一个基本假设。在此假设的基础上，利用C语言编程，证明了：对应于无穷多个素数p，存在无穷多个p+2的素数；即孪生素数猜想。

【关键词】孪生素数；假设；C语言程序

【Abstract】In accord with the limitation of the integer taken by a computer， an assumption is suggested， and on the basis of it， using the program of C language， the paper proves that corresponding to infinite primes p， there are infinite p+2 being primes； namely， the conjecture of pair primes.

【Key words】Pair primes； Assumption； Program of C language

0 引言

目前，数论中尚未解决的难题有两个，一个是偶数情形的哥德巴赫猜想，另一个是孪生素数的哥德巴赫猜想（孪生素数猜想）[1]。从一些有关数学的期刊上可以发现， 关于孪生素数的猜想，一直是国内外数学界关注和研究的一个重要课题。迄今为止，数学家陈景润已经证明：存在无穷多个素数p，使p+2为不超过两个素数的乘积[2]。国内外还没有人能够做到利用纯粹的数学理论方法证明这一猜想。本文将设计C语言的程序证明孪生素数的猜想。如果用Q（p）表示无穷多个素数p组成的集合，Q（p+2）是相应的无穷多个p+2的素数组成的集合，并且假设计算机二进制的数码的位数没有限制，则通过C程序的运算可以由Q（p）的所有元素得到Q（p+2）的所有元素。从数学的观点看，可以将C程序的运算视为由Q（p）到Q（p+2）的一个映射M（mapping）[3]， 表示为M： Q（p）→Q（p+2）。

1 假设

计算机将整数转换为二进制数码表示，假设数码的位数不受限制，则任意大的整数k可以无限地转换成二进制数码。但由于机器的规模限制，机器的二进制数码的位数是有限的。例如，对于浮点机表示的数码，若数码的阶数的位数是k位，尾数的位数是m位，则整数N的取值范围为：如果不考虑数码的位数，计算机运算时会出现“机器零”或者“溢出”的情况。证明孪生素数的猜想，需要考虑的素数p有无穷多个，不能利用“穷举法”对所有的p+2的数字一一列举进行判断。如果应用数学归纳法的思想，则必须作某些假设。

由于计算机的二进制运算仅与逻辑电路或者布尔代数有关系，其运算规则和结果不因计算机的二进制数码的位数多少而引起变化。因此，可以作以下假设。

假设：已知计算机限制的整数的最大取值为n，p为无穷多个素数p1

在假设中，显然，R（k+1）？劢R（k），R（k+1）-R（k）=k+1，仅仅多一个k+1的数字。如果计算机对整数的取值范围没有限制，可以设k为任意大的整数，但是不会当k大到某一整数之后，j≡i，因为素数p有无穷多个，可能成为素数的k+1的数也有无穷多个，故j≥i的情形有无穷多。

2 证明猜想

在所有的素数中，如果p是素数，且p+2也是素数，则称（p，p+2）为一对孪生素数。因而数论中孪生素数的哥德巴赫猜想，可以用下面的定理表述：[1]

定理：有无穷多个素数p使得p+2也是素数。

根据定理编写程序，首先假设p是任意的素数，然后从所有p+2的数中筛选出全部素数，并证明其数目有无穷多个。用C语言编写的源程序代码如下：

可以任意举一个计算机取值范围内的正整数，例如，取max=k=100，利用C-Free 5 CJY版运行程序prime.c的结果显示，若p为素数，则不大于100的p+2的素数是：

7，13，19，31，43，61，73。

实际上5和3也构成一对孪生素数，相对于3，5也是一个p+2的素数，在运算结果中没有显示，原因是相对于运算结果中的p+2的素数7，5又是一个p的素数，不能同时出现在p+2的素数中。类似的情况在后面的p+2的素数里可能还会有很多，但是这些情况不影响证明p+2的素数有无穷多个。

那么，当max=k+1=101时，利用C-Free 5 CJY版运行程序prime.c的结果显示，若p为素数，则不大过101的p+2的素数也是：

7，13，19，31，43，61，73，

这相当于假设中的j=i的情况。如果取max=k=102，prime.c运算的结果仍然和上述p+2的素数一样，但是当max=k+1=103时，利用C - Free 5CJY版运行prime.c，得到p+2的素数为：7， 13， 19， 31， 43， 61， 73， 103，

这相应于假设中j >i的情况。如果计算机的整数取值范围没有限制，则可以取任意大的k以及k+1进行验证。

因而，根据假设，利用C- Free 5 CJY版运行程序prime.c的数字结果表明：可以找到无穷多个素数p，相应的p+2亦为素数。定理得以证明。

【参考文献】

[1]陈景润.陈景润文集[M].江西教育出版社，1998：346-347.

[2]王元.解析数论在中国[J].自然杂志，1980，3（8）：568-570，592.

[3]日本数学会编.数学百科辞典（中译本）[M].科学出版社，1984：42-45.

[责任编辑：汤静]