刀具磨损曲线的分段线性拟合研究

贺一川

（湖南省长沙市明德中学，湖南长沙410000）

刀具磨损曲线的分段线性拟合研究

贺一川

（湖南省长沙市明德中学，湖南长沙410000）

将线性拟合方法应用到刀具磨损曲线的拟合，采用分段线性拟合的思想来拟合刀具磨损的非线性过程。分析了线性拟合的原理，提出采用相关系数来实现对非线性过程的自动分段线性拟合，给出了分段线性拟合算法的详细步骤。对刀具磨损曲线的实际拟合结果表明，该算法拟合的直线准确地反映了刀具的不同磨损状态。

刀具磨损；线性拟合；相关系数；分段拟合

0　引言

刀具磨损是切削加工中的一个重要问题。刀具的磨损一般用后刀面磨损量来表示，其过程分为三个阶段：初期磨损阶段、正常磨损阶段和剧烈磨损阶段［1］。如果将刀具磨损过程用曲线来表示，横坐标为切削时间、纵坐标为刀具磨损量，则这一曲线一般为非线性曲线，其中初期磨损阶段刀具磨损较快，正常磨损阶段磨损变小，剧烈磨损阶段的磨损又变大［1］。虽然刀具的整个磨损过程是非线性的，但是作者发现，可以近似用分段线性的方法来拟合这一过程，并提出了一种自动多段线性拟合算法，用于实现对刀具磨损曲线的自动分段拟合。文中对自动多段线性拟合算法进行了详细的论述，采用相关系数法对拟合数据实现自动分段，无需人工干预，就可实现对刀具磨损的非线性曲线的分段线性拟合，实例证明这种方法的效果很好。

1　自动分段线性拟合算法

1.1线性拟合算法

对于一组实测的数据（xi，yi），i=1，2，…，n，如果发现xi、yi之间是线性或近似线性的，则可以用一个直线方程来拟合这组数据［2］：

采用最小二乘法求解上式，可以得到：

式（3）、（4）中，x¯和y¯分别表示xi和yi的均值，如下两式所示：

这样，就得到了一个直线方程，实现了对数据（xi，yi）的拟合，但这仅仅只是一个直线方程，它还不能对刀具磨损曲线准确拟合。为了实现对刀具磨损曲线的准确拟合，提出了一种自动分段线性拟合算法，此算法显著区别于文献［2-3］的单段线性拟合算法，可以实现对刀具磨损非线性曲线的自动分段线性拟合。

1.2自动分段线性拟合算法

在论述自动分段线性拟合算法之前，首先来分析拟合直线的可靠性。拟合直线的可靠性可用通过相关系数来检验，相关系数定义如下：

当r=0时，xi和yi之间没有任何线性相关性，此时得到的直线方程是没有意义的。当r=1时，xi和yi之间存在确定的线性关系，此时得到的直线方程是完全反映了xi和yi之间的线性关系。对于一般实测的数据（xi，yi），r的绝对值介于0到1之间，越接近于1，xi和yi之间的线性关系越好，在实际中，当=0.98时，就可认为xi和yi之间存在明确的线性关系。基于这一原理，针对刀具磨损曲线分段近似线性的特点，提出了一种自动分段线性拟合算法，其步骤如下。

（1）对于一组实测的数据（xi，yi），i=1，2，…，n，根据式（7）计算其相关系数r，如果≥0.98，则整组数据（xi，yi）之间存在确定的线性关系，此时无须对其进行分段拟合，利用式（3）、（4）就可得到整组数据（xi，yi）拟合直线的斜率a和截距b，算法结束；如果＜0.98，则继续进行第2步。

（2）因xi和yi（i=1，2，…，n）之间的相关系数||r＜0.98，说明整组数据（xi，yi）之间的线性关系不强，此时将数据长度减1，再计算xi和yi之间的相关系数r，如果＜0.98，则继续将数据长度减1，并计算此时xi和yi之间的相关系数r，如此重复，直到||r≥0.98，则进入第三步。

（3）设此时的数据长度为m，这段数据xi和yi（i=1，2，…，m）之间存在确定的线性关系，可以对其进行直线拟合，得到一个斜率a和截距b；然后对剩下的数据段xi和yi（i=m+1，m+ 2，…，n），返回步骤（2），再次进行数据分段和相关性判断，直到m=n，则对整组数据分段完毕，算法结束。

2　对刀具磨损曲线的自动分段线性拟合

采用本文提出的算法对刀具磨损曲线进行拟合，刀具磨损数据来自文献［4］，如图1所示，图中用‘*’表示这些数据。对这些数据利用自动分段线性拟合算法进行处理，结果得到三个直线方程。第一个直线方程是：

图1　刀具磨损数据及其分段线性拟合结果

此直线图形见图1左边的直线，易见它上升较快，反映的是刀具初期磨损阶段的特性。

第二个直线方程是：

此直线图形见图1中间的直线，易见它上升较慢，反映的是刀具正常磨损阶段的特性，其斜率为0.001 0，比初期磨损阶段的斜率0.004 9小很多，表明刀具的磨损进入平稳时期。

第三个直线方程是：

此直线图形见图1右边的直线，易见它上升很快，反映的是刀具剧烈磨损阶段的特性，其斜率为0.007 8，远大于初期磨损阶段的斜率0.004 9和正常磨损的斜率0.001 0，反映了刀具剧烈磨损的状况。

从此例可见，本文提出的算法实现了对刀具磨损曲线的自动分段拟合，所得到的三个直线方程准确地反映了刀具的三种磨损状态，效果很好。

3　结论

刀具磨损曲线虽然表现为一种非线性形式，但是可以通过分段线性拟合的方法来拟合这种非线性过程。文中利用相关系数法，提出来一种自动分段线性拟合算法，无需人工干预，实现了对刀具磨损曲线的自动分段线性拟合，在所得直线方程中，正常磨损状态的斜率最小，剧烈磨损状态的斜率最大，准确地反映了刀具的不同磨损状态。

［1］韩荣第.金属切削原理与刀具［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.

［2］费业泰.误差理论与数据处理［M］.北京：机械工业出版社，2010.

［3］何菊明，王芙.实验数据的线性拟合及计算机处理［J］.武汉工程大学学报，2008，30（1）：117-119.

［4］赵学智.广义自适应小波分析及其在机械测试信号处理中的应用［D］.广州：华南理工大学，2001.

The Research on Piecewise Linear Fitting of Tool Wear Curver

HE Yi-chuan
（Hu Nan Changsha Mingde Middle School，Changsha410000，China）

The linear fitting method is applied to the fitting of tool wear curve，and the idea of piecewise linear fitting is used to fit the nonlinear process of tool wear.The principle of linear fitting is analyzed，and the correlation coefficient is put forward to realize automatic piecewise linear fitting of the nonlinear process.The detailed steps of the piecewise linear fitting algorithm are given.The fitting results of tool wear curve show that the proposd method can accurately reflect the different wear states of the tool.

tool wear；linear fitting；correlation coefficient；piecewise fitting

TH123

A文献标识码：1009-9492（2015）12-0088-02

10.3969/j.issn.1009-9492.2015.12.024

贺一川，男，1998年生，湖南长沙人。研究领域：数据处理算法及其工程应用。

（编辑：向飞）

2015-09-04