关于三参数Pareto分布的参数估计问题

刘荣玄，邬四英，张 萍



关于三参数Pareto分布的参数估计问题

*刘荣玄1，邬四英1，张 萍2

（1.井冈山大学数理学院，江西，吉安 343009 ；2.井冈山大学继续教育学院，江西，吉安 343000）

在逐步增加首失效截尾样本下，研究三参数Pareto分布族形状参数的一致最小方差无偏估计（UMVUE）, 在对称平方损失函数下，讨论其Bayes估计和参数型经验Bayes（PEB）估计；按照均方误差（MSE）准则，比较UMVUE与PEB估计的小样本性质；根据形状参数的风险，导出其Bayes估计与PEB估计的大样本性质，并获得它们的收敛速度。

首失效截尾样本；三参数Pareto分布；UMVUE与PEB估计；样本性质

自1897年意大利经济学家VilfredoPareto (1848-1923)提出Pareto分布后[1]，经过一个多世纪的发展，Pareto分布得到了推广，由二参数Pareto分布推广到三参数Pareto分布和广义Pareto分布，并广泛地应用于诸多领域，解决实际问题。Pareto分布参数估计问题的研究也取得了诸多成果。文献[2]在平方损失函数下研究了二参数Pareto 分布形状参数的渐进最优与可容许的经验 Bayes 估计及其性质；文献[3]在平方损失函数和LINEX损失函数下研究了二参数Pareto 分布形状参数和可靠性指标的 Bayes 估计；文献[4]在与信息论中的熵函数有关的q-对称熵损失函数下研究了 Pareto 分布形状参数的最小风险同变估计、Bayes估计以及可容许与不可容许估计，并给出了形状参数的一个最小最大估计；文献[5]将两参数的情形推广到三参数，并研究了尺度参数和形状参数估计的渐近性质，指出多数的形状参数具有接近于最小的偏差和均方误差的特点。本文基于逐步增加首失效截尾样本研究三参数Pareto 分布参数估计问题。

在可靠性寿命试验中，截尾试验是一类应用非常广泛的试验，随着科学技术的发展，产品寿命不断提高，实验成本越来越大，实验时间也越来越长，针对实际问题，研究者对传统的定数截尾和定时截尾寿命实验进行了改进，提出了逐步增加截尾实验，文献[6-7]讨论了正态样本下逐步增加截尾数据下参数的似然估计和区间估计； Balakrishnan和Aggarwala[8]对寿命试验和逐步截尾寿命试验进行了统计分析。然而对于高寿命产品，逐步增加截尾试验仍然比较费时，成本偏高。2009年Wu和Kus[9]提出了逐步增加首失效截尾寿命试验，这种试验既可以了解产品的失效机理，又能了解产品的退化情况，还可以节约时间和成本。目前利用这种试验获取样本，研究分布函数参数估计的文献并不多见。文献[10]基于逐步增加首失效截尾样本，在对称和非对称损失函数下研究了Burr分布可靠性指标的Bayes估计。本文采用该种试验获取样本，在对称平方损失函数下，研究三参数Pareto分布参数的UMVUE、PEB估计和区间估计，以及估计的小样本性质、大样本性质和区间估计的精度。

设三参数Pareto分布的密度函数为

证明根据指数经典变换

可得

其中

从而

又因为

根据伽玛分布的有限可加性知

1 参数估计

1.1 参数的UMVUE

相应的对数似然函数为

于是可得参数的极大似然估计为

证明

1.2 参数的Bayes估计

即

假设损失函数为

其Bayes风险为

由引理2和(6)式可知

将(10)、(11)、(12)、(13)五式全部代入Bayes风险中，有

如果超参数存在未知情况，我们可用历史样本，采用点估计法对参数进行估计，进而得到参数的PEB估计。

1.3 参数的PEB估计

由（10）式知

其数学期望为

其Bayes风险为

将 (11)~(13)、(20)~(22)六式全部代入（19），于是可得

2 估计的小样本性质

证明由引理3得

将(11)~ (13)三式全部代入(24)式，可得

又由（23）式可得

于是有

3 估计的大样本性质

证明由（14）、（23）式可知

[1] Arnold B C. Pareto distribution[M]. Fairland，Maryland：John Wiley & Sons, Inc.,1985.

[2] 谢天华,叶鹰. Pareto分布参数的渐进最优与可容许的经验Bayes估计[J]. 应用数学,2006,19(增):237-240．

[3] 侯华蕾,师义民,李豪亮. 双边定数截尾下Pareto分布的可靠性[J]. 数理统计与管理,2009,28(5):826-830．

[4] 宋立新,王明秋,王晓光. q-对称熵损失函数下Pareto分布参数估计[J]. 大连理工大学学报,2011,51(4):616-620.

[5] 王芳,门慧. 三参数广义帕累托分布的似然矩估计[J].数学年刊,2013,34A(3):299-312.

[6] Balakrishnan N,Mi J.Existence and uniqueness of the MLEs for normal distribution based on general progressively type-II censored samples[J].Statistics & probability Letters, 2003,64(4):407-414.

[7] Balakrishnan N,Kannan N ,Lin C T,et al. Point & interval estimation for Gaussian distribution,based on progressively type-II censored samples[J].IEEE Transactions on Reliability, 2003,52(1):90-95.

[8] Balakrishnan N, Aggarwala R. Progressive Censoring:

Theory,Methods,and Applications [M].Boston: Springer Science & Business Media, 2000.

[9] Wu S J,Kus C. On estimation bsaed on progressive first-failure-censored sampling[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2009 ,53:3659-3670.

[10] 王亮,师义民.两参数Pareto分布逐步首失效样本的Bayes估计[J].系统工程理论与实践,2012,32(11): 498-2503.

[11] 刘荣玄,朱先阳.三参数Burr分布族参数的经验Bayes估计的优良性[J].系统科学与数学，2013,33(8):913-921.

ESTIMATION OF THREE-PARAMETER PARETO DISTRIBUTION UNDER PROGRESSIVELY FIRST-FAILURE-CENSORED DATA

*LIU Rong-xuan1, WU Si-ying1, ZHANG Ping2

(1.School of Maths and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China；2. School of Continuing Education, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343000, China)

We derive the uniformly minimumvariance unbiasedestimation (UMVUE) of shape parameter of the three-parameter Pareto distribution family based on progressive first-failure-censoring samples.Furthermore, the Bayesian estimation and the parameter-type empiricalBayes (PEB) estimation have been obtained under the symmetric loss function. The small sample properties of UMVUE and the PEB estimation are compared under the mean- square error (MSE) criterion. The large sample properties of the Bayesian estimation and the PEB estimation of the parameters are proved according to the risk of the shape parameter and the convergence rateis obtained. The interval estimations of the parameters in classical statistics and Bayesian statistics are discussed respectively under the same or similar credible level. At last, the precision of the Bayesian interval estimation is better than in classical statistics is illustrated by some numerical simulation results.

first-failure-censoring samples; three-parameter Pareto distribution; UMVUE and PEB estimation; sample properties

1674-8085(2015)04-0007-06

O212.8

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2015.04.002

2015-03-29；修改日期：2015-04-25

江西省教育科学规划项目(12YB049).

*刘荣玄(1959-)，男，江西遂川人，副教授，主要从事概率统计及贝叶斯统计的教学与研究(E-mail:lrx8231901@163.com);

邬四英(1970-)，女，江西吉安人，统计师，主要从事统计工作(E-mail:lrx3536454@163.com);

张 萍(1960-)，女，山东济南人，馆员，主要从事档案工作(E-mail:lis8881716@aliyun.com).