不平衡非线性负载下三相逆变器的建模与控制

马 皓 林 钊 王小瑞



不平衡非线性负载下三相逆变器的建模与控制

马 皓 林 钊 王小瑞

（浙江大学电气工程学院 杭州 310027）

为缓解实际应用场合中不平衡非线性负载对三相逆变器输出电压的影响，并改善混合负载切换时的动态特性，本文提出了基于广义状态空间平均的建模方法和电感电流滑动平均的控制策略。通过广义状态空间平均法对平衡负载下的逆变器进行了准确的建模，并在dq0坐标系下设计了PI控制器，最后利用电感电流滑动平均方法使PI控制器适于三相不平衡负载和非线性负载。与传统控制方法的对比实验表明，本文提出的模型和控制策略能够在保证混合负载下三相电压平衡的基础上，较好地提高负载切换时的动态特性。

不平衡非线性负载 三相三线制逆变器 广义状态空间平均法 dq0变换 电感电流滑动平均

0 引言

分布式发电的迅猛发展使微电网的应用越来越广泛。微电网中的负载大部分都含有不平衡或非线性的成分。不平衡的三相线性负载将给逆变器引入基波的负序和零序扰动。而三相非线性负载也将给逆变器引入谐波的正序、负序和零序扰动。另外，实际情况中一些混合负载是不平衡和非线性负载组合而成的，此时将给逆变器的输出电压波形带来更大的畸变[1,2]。

为改善不平衡非线性负载给输出电压波形带来的严重畸变，目前已出现了较多的控制策略和拓扑[3]。文献[4-11]在dq0坐标系下对输出电压进行谐波补偿和不平衡控制，主要针对某次谐波例如5次、7次等进行补偿控制，但控制环路和控制参数过多，会增加DSP的处理时间；文献[12-14]根据三相四桥臂逆变系统的控制传递函数、期望的极点分布和性能指标进行单电压环的设计，但缺乏电流环的控制，不利于对电流的动态控制；文献[15-19]分别运用空间矢量、线性矩阵不等式等控制方法，增加了额外的控制电路，会降低DSP的执行速度，虽然三相电压的平衡度和正弦度得到了改善，但负载切换时的动态特性仍然有待提高。

另外，关于不平衡非线性负载情况下的控制器设计一直是PWM逆变器领域的研究热点。无差拍控制器[20,21]根据系统的状态方程和输出信号的反馈量计算逆变器的下一个采样周期的脉冲宽度，但系统增益大，导致系统的抗干扰和稳定性降低；重复控制[22,23]利用扰动的“重复性”和“记忆”扰动发生的位置，实现对给定信号的跟踪，但重复控制器结构存在周期延时环节，动态性能受到限制。电压、电流PI双环控制器[24,25]形式简单，PI参数易于设置，电压外环可以保证优良稳态特性，电流内环可以显著提高系统的动态性能，及时消除负载扰动的影响。

虽然不平衡非线性负载在小功率场合的研究已经取得一些成果，但控制策略的实现和控制器的设计相对复杂，并且在混合负载切换时动态调整时间较长。本文首先基于广义状态空间平均法对三相平衡阻性负载下的三相三线制逆变器进行准确的建模和PI双环控制器的设计，然后在dq0坐标系下利用电感电流滑动平均方法将PI双环控制器推广到三相不平衡负载和非线性负载，最后通过实验样机上的对比实验，验证了所提建模和控制方法改善三相电压的平衡和负载切换时动态特性的有效性和准确性。

1 单个三相逆变器的建模

1.1 基于传统状态空间平均法的建模

三相三线制电压型逆变器原理如图1所示。定义开关函数为

式中，∈{a, b, c}；∈{p, n}。而且sp+sn=1。特殊地，令s=sp=1-sn。

图1 三相三线制电压型逆变器原理

假设负载为三相对称△连接，阻值为，则得到三相三线制逆变器交流侧的方程为

式（2）中左边为虚拟线电流，定义为

交流侧电压和直流侧电压的关系为

联立式（1）～式（4），得到

式中，为滤波电感；为滤波电容；r为滤波电感的等效串联电阻；ab、bc、ca和AB、BC、CA分别为虚拟线电流和输出线电压的状态变量。

为简化模型，需要忽略电压、电流等电量的开关频率及其边频带、开关频率谐波与其边带，引入开关周期平均算子的定义

式中，()是状态变量中的某一个；S为开关周期。对电压、电流等电量进行开关周期平均运算，将保留原信号的低频部分，而滤除开关频率分量、开关频率谐波分量及其边频分量。对式（5）两边进行开关周期平均，得到

式中

对式（7）进行dq0变换，在三线系统中，0轴分量几乎为零，可忽略不计，于是得到dq0坐标下的单个三相逆变器的开关平均模型为

式中

式中，为基波角频率，=2p=100p。

三相电压型逆变器在dq0坐标系的开关周期平均模型在稳态工作点附近经过小信号扰动和线性化，得到其dq0坐标下的小信号模型为

1.2 基于广义状态空间平均法的建模

广义状态空间平均法以傅里叶变换为基础，若时域周期信号()满足，则在时间区间（-,）内，()的傅里叶变换为

式中，=2p为信号的基波角频率；为信号的阶傅里叶变换系数，可以通过傅里叶反变换在一个工频周期内的平均运算得到

广义状态空间平均法建模用到傅里叶变换的两个重要特性：

（1）傅里叶变换系数的微分特性。第阶傅里叶变换系数对时间的微分为

（2）卷积特性。两个时域信号乘积的傅里叶变换系数等于单个信号所对应的傅里叶变换系数的离散卷积

若采用SPWM调制技术，可采用每一个开关周期内s的平均值构成的波形的基波d来代替s，则得到三相开关函数的基波交流分量为

式中，分别为a=0、b=0+2p3和c=0-2p3；为基波角频率；0为初始相位角；为幅值调制比。将式（18）代入式（5），得到

广义状态空间平均模型的状态变量为信号的傅里叶系数，因此，若对上式中的状态变量作一阶近似，则有

结合式（16）、式（19）和式（20），可得到三相三线制逆变器的广义状态空间平均模型为

可认为直流输入电压dc恒定不变，即

若令

结合式（20）和式（23），得到

结合式（15）、式（17）、式（21）和式（23），并分离一阶信号的实部和虚部，整理得到系统的广义状态空间平均模型为

考虑死区效应[26]，则输出线电压基波与理想基波之比为

式中，=8cd/(p)，c为开关频率，d为死区时间，为幅值调制比；为负载的功率因数角。

要强调的是，实验平台中的逆变器输出端接有LC滤波器以便滤除开关频率及其倍数的谐波。但由于LC滤波器的截止频率设计为2kHz，是基波频率50Hz的40倍，在考虑死区效应时，滤波电感和电容的存在对基波电压的影响很小，可忽略不计。

同理，虚拟线电流基波也有式（26）的比例关系

现在仅考虑阻性负载，则=0，式（26）和式（27）简化为

在实际应用中，输出电压一般会加入直流抑制环节或逆变桥的输出端和负载之间有隔离变压器，所以式（21）关于输出电压直流成分的方程可忽略不计。将=/(1-)、=/(1-)代入式（21）关于基波成分的方程，得到

若令

同理，经过若干变换后，得到考虑死区效应后，系统的广义状态空间平均模型为

经过一阶近似后，三相逆变器的状态变量可用其基波成分代替，为了简便，电压和电流的基波成分仍沿用状态变量的符号，其在abc坐标系下的方程为

经dq0变换，并在稳态工作点附近进行小信号扰动和线性化，得到基于广义状态空间平均法的小信号模型为

式中

上文中，对三相三线制电压型逆变器进行了两种不同方法的建模，得到了基于不同方法的小信号模型。

传统状态空间平均法对状态变量进行开关周期平均运算，虽然原信号的开关频率分量、开关频率谐波分量及其边频分量得到了滤除，但是保留下来的低频部分仍然可能包括5、7、11、13等低次的工频谐波。在考虑死区时间的影响时，滤波电感和电容的存在对低次工频谐波的影响也会不同，建模的过程非常繁琐。在实际情况中，主要关心的是状态变量的基频分量，在建模过程中一般不考虑低次的工频谐波。

广义状态空间平均法以傅里叶变换为基础，利用微分特性和卷积特性对状态变量进行了一阶近似，保留了状态变量中的基频分量，滤除了状态变量中的其他谐波分量。在考虑死区效应时，滤波电感和电容的存在对基频分量的影响可忽略不计，可以对其进行有效而简便的建模。因此，广义状态空间平均法的小信号模型更接近实际情况，由此设计的控制参数能够直接应用于实验调试中。

2 基于广义平均法的双环PI控制器的设计

本实验平台的控制框图如图2所示。

图2 三相三线制逆变器控制框图

在实验平台中，dc=250V，电感=3.4mH，电感ESRr=0.2W，=70W、=2.2mF。程序中电压参考值dref=150V，qref=0V，系统稳定时的幅值调制比=dref/(0.866dc)=150/(0.866×250)=0.693。另外，=8cd/(p)=8×2×104×2×10-6/(0.693p)=0.147（式中，c=20kHz、d=2μs）。

三相逆变器输出电压变化相比电流较慢，在设计电流内环时可认为此时，将其代入式（33），得到

控制模块采用PI调节，其传递函数为

对d、q轴之间的耦合关系进行解耦后，得到加入PI控制器的电流内环闭环传递函数为

为了紧密跟踪逆变器的状态变化，改善逆变器的动态性能，取电流环闭环函数的截止频率为开关频率的1/10，即2kHz，代入相关数据，得到电流内环PI控制器的PI参数：Kp0.2、Ki10。加入PI控制后的电流内环闭环伯德图如图3所示。

图3 电流内环伯德图

在设计电压外环控制器时，电流内环可用单位增益代替。由式（33），得到

控制模块采用PI调节，其传递函数为

对d、q轴之间的耦合关系进行解耦后，得到加入PI控制器的电压外环闭环传递函数为

为提高系统稳定性和抑制高频谐波，加入PI控制环节后的电压外环闭环传递函数的截止频率设为200Hz，代入相关数据，得到电压外环PI控制器的PI参数为Kp0.01、Ki54。加入PI控制后的电压外环闭环伯德图如图4所示。

图4 电压外环伯德图

在上述PI控制器设计中，由于第1.2节中的广义状态空间平均模型考虑了死区时间的影响，基于此模型计算的电压外环和电流内环PI控制参数更接近实际情况，PI参数能够直接应用于实验平台中，实验的调试得到简化。

3 电感电流滑动平均算法的引入

第2节的PI控制器是基于三相平衡负载设计的，但当逆变器带不平衡非线性负载时，系统内的电流会增加基波的负序分量和谐波分量（三线制中不存在零序分量，本文暂不考虑）。

根据对称分量变换和傅里叶分解，带不平衡非线性负载时的电感电流可写为

式中，基波的正序分量、负序分量和谐波分量分别为

经过dq0变换后，上述各分量变为

由以上三式可知，带不平衡非线性负载时，电感电流的d分量和q分量不再是直流量，第2节中设计的PI控制器将不再适用。但值得注意的是，电流的基波负序分量和谐波分量是交流量，可通过平均的方法将其消除，得到的仍是基波正序分量的dq分量。

在本实验中，每个开关周期采样（电压和电流）一次。常规的平均方法是周期平均，考虑电感电流的周期性，在一个工频周期内对电感电流采样值的瞬时dq序列求平均，即得到其中的直流分量

式中，=400，表示一个工频周期采样400次。此方法中，每个工频周期仅计算一次电感电流平均值，不能实时地反映电感电流的变化，计算的延迟时间较长，会影响逆变器系统的动态特性。

滑动平均的引入是为了在实现低通滤波的同时保证系统的动态性能。针对电感电流采样值的瞬时dq序列，构建一个点数为400的滑动窗口。从dq序列的第1个点开始，一直累加到第个点，然后取平均，即可得到第个点的电感电流采样值的平均dq序列，即

式（50）考虑了电感电流瞬时dq序列中的交流信号在每个工频周期的重复性。在实际应用中，当采样第个点时，可考虑用当前新的信息代替一个工频周期前同一位置的信号，得到递归式

式中，()为当前时刻的电感电流新信息；()为上一个周期对应当前时刻的电感电流旧信息。一旦电流信号发生变化，滑动平均得到的数值也会随之变化，逼近于真实值。相对于周期平均法要在一个周期后才能得到真实值，减小了计算的延迟时间。

另外，由式（51）可知，每个dq序列点都只计算了两次，而不用考虑滑动窗口的长度。另外，整个计算过程中仅用了一次加法、一次减法和一次乘法，执行速度相当快。相对而言，滑动平均算法比其他数字滤波器的算法都快。

综上所述，滑动平均算法在每个采样周期中计算一次电流平均值，能够实时地反映电感电流信号的变化趋势，并且每次处理的数据点和运算次数很少，执行速度比较快，能够在实现低通滤波的同时，较快地跟踪电流的变化，改善系统在负载变化时的动态特性。

此外，由式（47）和式（48）可知，电流中的基波负序分量和谐波分量在dq0坐标系下的dq分量都是以偶次谐波的形式出现，对于滑动平均，窗口长度可缩短为原来的1/2。针对三相不控整流负载，电流中的6-1次负序谐波和6+1次正序谐波在dq轴上以6脉波的形式出现，此时，窗口的长度可进一步缩短为原来的1/6。

4 实验结果与分析

为验证本文基于广义状态空间平均法设计的PI控制器和电感电流滑动平均的有效性，在三相三线制逆变器实验平台上进行了不平衡非线性负载的稳态和动态实验。其中，非线性负载由三相整流桥、电容non和电阻non并联而成。具体参数见下表。

表 系统参数

图5、图6分别为不平衡负载和非线性负载时的电压、电流稳态波形。由图可知，在不平衡非线性的负载条件下，本文的控制策略能够保证逆变器输出平滑对称的三相电压。图7a和图8a是运用本文的建模方法和控制策略的切载波形。在同样的负载切换条件下，采用基于传统状态空间平均法优化设计后的PI参数和电感电流周期平均的控制策略，进行了相应的实验，实验波形如图7b和图8b所示。其中，图8中的混合负载由非线性负载和不平衡负载（70W, 140W, 140W）并联而成。

图5 不平衡负载时的电压、电流稳态波形（35W,70W,70W）

图6 非线性负载时的电压、电流稳态波形

图7 不同控制策略下，不平衡负载时（70W,140W,140W）切（35W,70W,70W）的电压、电流瞬态波形

图8 不同控制策略下，混合负载时的电压、电流瞬态波形（混合负载切非线性负载）

由图7可知，在不平衡负载半载切换到满载的情况下，采用基于本文建模方法设计的PI参数和控制策略时，电压的大小基本保持不变，电流在一个工频周期内可恢复稳定。而传统方法的电压会有所减小，电压、电流重新恢复需要3个工频周期以上。

同样地，由图8可看出，在混合负载切换到非线性负载的情况下，采用基于本文建模方法设计的PI参数和控制策略时，电压和电流在一个工频周期内可恢复稳定。而传统方法的电压会有所增加，电压、电流重新恢复需要4个工频周期。

图7和图8的对比实验证明了本文的建模方法和控制策略在改善系统动态特性上的准确性和有 效性。

5 结论

本文首先基于广义状态空间平均法对三相三线制逆变器进行了准确的建模，在模型基础上对PI双环控制器进行了dq0坐标系下的设计，设计的PI控制参数更接近于实际情况，能够直接应用于实验中。采用电感电流滑动平均方法，在把所设计的PI控制器推广到不平衡非线性负载的同时，保证了系统的动态性能。在三相三线制逆变器实验平台上，进行了本文方法和传统方法的对比实验，结果表明，在不平衡非线性负载下，本文的建模方法和控制策略能够在保证逆变器输出平滑对称的三相电压的同时，较大地改进了负载切换时系统的动态特性。

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Modeling and Control of Three-Phase Inverter Powering Unbalanced and Nonlinear Loads

（Zhejiang University Hangzhou 310027 China）

In order to diminish the influence of unbalanced and nonlinear loads on the output voltage quality of three-phase inverter in practical applications and further improve the dynamic characteristic under different load switching, modeling method based on generalized state space average and a novel control strategy based on inductor current moving average are proposed. Based on generalized state space averaging method, an accurate model of inverter with balanced load and design of PI controller in the dq0 synchronous rotating coordinate is analyzed in detail. Moreover, inductor current moving averaging method is presented, adjusting the PI controller applicable to three-phase unbalanced and nonlinear loads. Compared with conventional method, the proposed model and control strategy can preferably improve dynamic characteristics under different load switching. Moreover, it can guarantee the balance of three-phase voltages with mixed loads.

Unbalanced and nonlinear loads, three-phase three-wire inverter, generalized state space averaging method, dq0 transformation, inductor current moving average

TM464

马 皓 男，1969年生，博士，教授，研究方向为电力电子技术及其应用、电力电子先进控制技术和电力电子系统故障诊断。

林 钊 男，1990年生，硕士研究生，研究方向为逆变器并联及网络控制。

2013-09-22 改稿日期 2013-12-05

国家自然科学基金（51177149）和浙江省重点科技创新团队项目（2010R50021）资助。