狭义相对论中的Galilean变换

杨锦波, 张靖仪



狭义相对论中的Galilean变换

杨锦波, 张靖仪

(广州大学天体物理中心, 广东广州, 510006)

运用几何语言, 从时空的3 + 1分解的角度, 探讨了狭义相对论中具有Galilean变换形式的坐标变换, 以及参考系与坐标系的区别、惯性坐标系的测量意义、光速不变的含义等概念性的问题。

Galilean变换; 惯性坐标系; 惯性参考系; 测量

相对论广泛使用几何语言。在几何语言的表述下, 采用时空背景为依据划分狭义和广义相对论, 是一种逻辑上更优越的区分标准。例如在讨论双生子佯谬的时候, 如果以时空背景作为划分标准, 就会发现, 这其实就是一个狭义相对论的问题[1],问题的解决不需要运用广义相对论。用几何语言表述的相对论, 包括狭义相对论,使用与坐标系无关的语言建立概念、讨论问题。与坐标语言相比, 它有一个非常显著的特点——坐标系被放到了次要的位置[2]。另外, 在狭义相对论中, 惯性系之间的坐标变换是Lorentz变换, 这种变换在低速下退化到Galilean变换,似乎在狭义相对论里(一般是接近光速的情况) 是不能够使用Galilean变换的。然而, 从几何语言的角度去思考, Galilean变换完全可以被认为广义坐标变换的一种, 因而可以使用。那么, 在狭义相对论里, 到底能不能使用Galilean变换呢？如果能够使用Galilean变换, 那么新坐标系是否属于同一个惯性参考系？还是不属于惯性参考系？有什么物理意义？把这些问题分析清楚, 有助于区分坐标系和参考系2个概念, 提高人们对相对论的理解水平。

1 时空的3 + 1分解

时空的3 + 1分解[3–4], 其实就是将时空流形分成若干“层”, 每一“层”就是一个三维空间。标记“层”的实数代表了“时刻”的概念。也就是说, 时空中存在单参数类空超曲面族{Σ},为用以区分不同类空超曲面的参数。相当于时空中定义了一个光滑标量场, 等面给出一张三维类空超曲面。在任意一张超曲面上引进一个三维坐标{x}, 为方便讨论, 不妨选出0,可以借助一个未来指向的类时切矢场t把0的三维坐标{x}带到其它超曲面Σ上。类时切矢场t的积分曲线是一族类时曲线。里面任意一条类时曲线经过所有的超曲面。因此, 可以把它跟0交点的三维坐标{x}“延拓”到其它超曲面Σ上, 即把超曲面Σ上与该类时线交点的坐标定义为{x}。而且, 可以认为标量场选定了时间坐标。这样, 在流形上选取一套坐标系{,x}。将类时矢量场分解为t=Nn+N, 其中与N分别称为时移函数和位移矢量, 那么线元可以表示为

可以看出, 对时空作3 + 1分解需要2个要素: 一是单参类空超曲面族; 二是一个类时的切矢场。3 + 1分解后, 时空的线元可以写为式(1)形式。

2 惯性坐标系与Galilean变换

狭义相对论研究的是Minkowski时空中的物理学。Minkowski时空天生具有一类特殊的坐标系, 称为惯性坐标系, 也叫Lorentz坐标系。惯性坐标系, 类似于Euclidean空间中的直角坐标系。当使用这类坐标系的时候, Minkowski时空的线元具有最简单的形式。

在几何语言里, 参考系是类时世界线汇(观者的集合)。等价地, 可以把参考系定义为时空中的一个光滑切矢场, 如果它的每一条积分曲线都是观者的世界线[3–5], 其实, 3 + 1分解的第2个要素t就是一个参考系。

惯性观者定义为Minkowski时空中走类时测地线的观者。惯性参考系就是光滑矢量场, 其积分曲线是惯性观者的世界线, 因此,就表示一个惯性参考系。由于和每条积分曲线都一样, 它们可以视为同一个参考系。可见, 从定义上看, 参考系与坐标系是截然不同的2个概念, 尽管它们有联系。

下面引进Galilean坐标系,对惯性坐标系作Galilean变换:

逆变换为

(4)

(6)

3 Galilean变换的物理意义

既然Galilean变换与洛伦兹变换类似, 都是把惯性参考系变为另一个惯性参考系的坐标变换, 那么其物理意义是什么呢？这可以从Galilean坐标系怎么变换为代表同一惯性参考系的惯性坐标系的过程得到答案。使用Galilean坐标系, 考虑共动观者A与邻近的共动观者B用小步雷达法对钟, A与B之间光信号满足

。 (8)

。 (10)

根据上面的讨论, 同时事件坐标时的差不为0。即便如此, 坐标时差沿空间闭合路径的积分为0, 还是可以在全空间建立统一的同时面。对Galilean坐标系做Möller所定义的“规范变换”(不改变纯空间几何及标准钟速率的坐标变换)[6–7]:

, (12)

“归一化”实质上是把钟慢效应和尺缩效应考虑进去。最后得到线元

, (15)

和从最开始的惯性坐标系出发的坐标变换:

这正是Lorentz变换。由上述讨论中, 可以重新理解Lorentz变换: 首先作Galilean变换, 换成一个新的惯性参考系, 可是Galilean坐标系的坐标差保留了原惯性参考系的测量意义, 坐标时相同也是代表原惯性参考系的同时。接下来把同时性的相对性考虑进去, 作“规范变换”, 化成时轴正交的坐标系, 最后按钟慢、尺缩效应来进行“归一化”, 使得新坐标系的坐标差具有新惯性参考系的测量意义。

4 关于光速不变原理

一般来说反对使用Galilean坐标系的一个理由是光速不变原理, 而且光速不变原理在广义相对论里成不成立也是常被提及的问题, Galilean坐标系就为澄清这些问题提供了一个很好的例子。

考虑在原惯性坐标系里面一个从原点出发沿以光速运动的粒子, 有。按(3)式变换到Galilean坐标系, 该粒子的运动满足。这样看上去粒子的运动速度是, 要比光速小, 但是这只是坐标速度, 它并不代表在新惯性参考系里对粒子速度测量的结果。当用Lorentz变换的时候, 新惯性坐标系是具有新惯性参考系的测量意义的。Galilean坐标系保留的是原惯性坐标系的测量意义, 实际上为原惯性坐标系里Galilean坐标系的空间原点与该粒子的距离增加的速度。粒子的坐标速度不等于1并不能推导出粒子不是以光速运动。

运用几何语言对粒子的速度跟光速的关系有一个更明确的说法。按切矢与自己的内积作分类, 内积为负的是类时, 对应低于光速; 内积为正的是类空, 对应超光速; 内积为0的是类光, 对应光速。光速不变原理则重新表述为一个类光的切矢在任何坐标系都是类光的, 实质上一个切矢到底是类时、类光还是类空, 是不依赖于坐标系的, 哪怕该坐标系不具备任何测量意义, 这样重新表述后就可以自然地将光速不变原理推广到广义相对论。

5 结论

Galilean坐标系虽然代表了一个新的惯性参考系, 但是其坐标差所代表的测量结果, 包括时间、距离, 还有是否同时, 全都是以原惯性参考系来衡量的, 通过几何语言研究Galilean变换可以得出:

(1) 惯性参考系与惯性坐标系是2个不同的概念。惯性参考系是类时测地线的集合, 或者等价地说是时空中的一个类时切矢场, 它的积分曲线是测地线; 惯性坐标系是时空上的一套坐标系, 在该坐标系下线元的形式最简单。坐标系要比参考系多很多东西, 还需要指定另外3个切矢场;

(2) Galilean坐标系不是惯性坐标系, 但它的共动参考系是与惯性参考系等同的。Galilean变换不能把惯性坐标系变换为另一个惯性坐标系, 但仍然能把惯性参考系变换为新的惯性参考系。与新的惯性坐标系, 即洛伦兹坐标系的关系是同属于一个惯性参考系的不同坐标系;

(3) Lorentz变换保证新坐标的坐标差具有新参考系的测量意义, 但是Galilean坐标系的坐标差保留了原惯性参考系的测量意义, 也正是因为这点,放弃坐标差的测量意义后, 有必要把光速不变原理做出重新的表述。

Galilean坐标系对时空采取3 + 1分解, 对时空的“分层”跟坐标变换前的惯性坐标系的是一样的, 可以说不同的只是参考系的选取, 其时移函数, 位移矢量。坐标系跟参考系是不同的概念, 速度相同的洛伦兹变换与伽利略变换分别将原来的惯性坐标系变换成同属于一个新的惯性坐标系的不同坐标系。Galilean坐标系提供了一个体现出两者不同的例子。

参考文献：

[1] 梁灿彬, 周彬. 微分几何入门及广义相对论(上册)[M]. 2版. 北京: 科学出版社, 2006: 149–150.

[2] 赵峥. 重视现代微分几何在物理学中的应用——介绍梁灿彬、周彬合著的《微分几何入门与广义相对论》[J]. 大学物理, 2006, 25(6): 52–53.

[3] 梁灿彬, 周彬. 微分几何入门及广义相对论(中册)[M]. 2版. 北京: 科学出版社, 2009: 169–175.

[4] Wald R M. General Relavity [M]. Chicago: The University of Chicago Press, 1984: 255–258.

[5] Sachs R K, Wu H. General Relativity for Mathematicians [M]. BeiJing: Springer-Verlag World Publishing Coporation, 1977: 134–136.

[6] Möller C. The theory of relativity[M]. 2nd Ed. London: Oxford Univ Press, 1972: 76–77.

[7] 刘辽, 赵峥, 田贵花, 等.黑洞与时间的性质[M]. 北京: 北京大学出版社, 2008: 228–234.

(责任编校:刘刚毅)

Galilean transformation in the special theory of relativity

Yang Jinbo, Zhang Jingyi

(Center for Astrophysics, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

The Galilean transformations in terms of 3 + 1 decomposition of Space-Time are discussed. A comment on some conceptual problems, such as the distinction between reference frame and coordinate frame, the sense of measurement in inertial coordinate frame, the implication of the invariable speed of light, is given.

Galilean transformation; inertial coordinate system; inertial reference frame; measurement

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.01.003

O 412.1

1672–6146(2015)01–0009–05

张靖仪, physicz@yahoo.cn; 杨锦波, base.city@163.com。

2014–11–15

国家自然科学基金(11273009)。