一类带比例时滞Fredholm型积分方程Legendre配置解法及收敛性分析

曾统华，王华生，王奇生



一类带比例时滞Fredholm型积分方程Legendre配置解法及收敛性分析

曾统华，王华生，王奇生

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

本文利用Legendre配置方法探讨一类带比例时滞Fredholm型积分方程的数值解法. 首先利用Gauss-Legendre求积公式将积分项进行离散，然后将Legendre多项式的零点取为离散化方程组的配置点，把积分方程转化为代数方程组后进行求解，并给出了数值求解格式和收敛性定理，最后列举若干数值例子以验证该方法的有效性与可靠性.

比例时滞；Fredholm型积分方程；Legendre配置解法；收敛性分析

积分方程是科学研究、科学计算和解决工程技术问题的一个重要数学工具. 在静电学、电动力学、弹性力学、流体力学、电磁场理论、辐射学、地球物理勘探以及航空航天、土木、机械等领域，许多问题都可转化为积分方程问题来研究，因而积分方程问题有着广泛的理论研究和实际应用价值[1]. Volterra型、Fredholm型和Volterra-Fredholm 混合型积分方程是3种最常见的积分方程类型，应用学科的许多实际问题都可以归结成这3类方程问题来求解. Fredholm型积分方程在物理学、生物学、能源科学等领域有着很好的推广[2]，时滞积分方程问题在力学、生物学、经济学、人口统计学及流行病学等领域中有也着广泛的应用[3]. 本文研究一类带比例时滞Fredholm型积分方程问题：

对积分方程问题的数值解法有许多研究，常见的如有限差分法与有限单元法、多项式逼近与最佳平方逼近方法、配置与谱配置方法、变分迭代与不动点迭代方法等等. Blübül和Sezer[4]用多项式逼近方法求解了一类双曲型偏微分方程，陈艳萍等[5]用谱配置方法、王奇生等[6-7]用最佳平方逼近和变分迭代方法求解了一类Volterra-Fredholm混合型积分方程问题. 本文利用Legendre配置求解方法，对带比例时滞Fredholm型积分方程问题进行了较为系统的研究：首先给出积分方程问题（1）精确解的存在唯一性定理，然后给出Legendre配置求解方法与求解格式，第三节给出数值解与精确解的误差估计与收敛性定理，最后给出若干数值例子验证该方法的有效性与可靠性.

1 解的存在唯一性

在本节利用Banach不动点定理，证明积分方程（1）的精确解的存在唯一性，先介绍如下预备知识.

引理1（Banach定理） 在完备度量空间中的压缩映射必然有唯一的不动点.

胆囊炎包括急慢性两种，其中，急性胆囊炎属于较为常见的一种外科急腹症[1-2]。近年来，伴随着微创技术的提出，经皮肝胆囊穿刺置管引流术得到广泛应用[3]，其结合腹腔镜胆囊切除术，能产生良好的疗效，创伤小，安全性高。本研究旨在探讨经皮肝胆囊穿刺引流术联合腹腔镜胆囊切除术在急性胆囊炎中的应用价值。现报道如下。

定理1（解的存在唯一性） 在重要假设条件i）和ii）都成立的情况下，积分方程（1）存在唯一解.

则

2 求解方法介绍

利用Legendre配置求解方法按以下两步对方程（1）进行数值求解：

再利用Gauss-Legendre求积公式，

，

则原方程化为

第2步，取Legendre配置点，并舍弃余项，则

令

则（4）可表示成矩阵方程形式：

3 收敛性分析

在本节将给出方程（1）的精确解与阶Legendre配置解之间的误差估计以及收敛性分析的结果.

将式（3）减去式（6）得，

则

故

4 数值例子

本节将给出一些数值例子以验证所提方法的有效性和可靠性，定义如下误差函数及最大误差：

，.

例1 利用Legendre配置方法求解Fredholm型积分方程

表1 例1的误差计算表

图1 时的精确解、配置解和误差函数

例2 求解如下类型的Fredholm型积分方程

表2 例2中配置点个数的误差计算表

表2 例2中配置点个数的误差计算表

11.351 7e-0027.122 0e-0037.390 5e-003 26.727 1e-0055.704 4e-0056.213 3e-005 33.781 7e-0081.423 2e-0071.496 6e-007 41.930 7e-0091.338 1e-0091.370 7e-009

图2 ，时的精确解、配置解和误差函数

图3 当变化时的误差函数

由上可知，所选取的配置点数比较小时，就能达到很好的逼近效果. 因此，Legendre配置方法是求解这类积分方程的有效和可靠数值方法.

5 结论

本文首先给出了一类带比例时滞Fredholm第二型积分方程精确解的存在唯一性的结果，其次提出了此类积分方程的高精度Legendre配置求解方法，同时证明了其数值解收敛于精确解. 该研究工作不仅丰富和发展了比例时滞积分问题的数值求解方法，而且还直接为科学与工程技术人员提供了科学有效的数值算法和理论依据，具有一定的理论意义和应用价值.

[1]JERRI A J. Introduction to integral equations with application [M]. London: John Wiley &Sons, 1999.

[2] YOUSEA S, RAZZAGHIB M. Legendre wavelets method for the nonlinear Volterra-Fredholm integral equations [J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2005, 70(1): 1-8.

[3] BRUNNER H. On the numerical solution of nonlinear Volterra-Fredholm integral equations by collocation methods [J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1990, 27(1): 987-1000.

[4] BULBUL B, SEZER M. Taylor polynomial solution of hyperbolic type partial differential equations with constant coefficients [J]. International Journal of Computer Mathematics, 2011, 88(3): 533-544.

[5] CHEN Yanping, TANG Tao. Spectral methods for weakly singular Volterra integral equations with smooth solutions [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 233(4): 938-950.

[6] WANG Qisheng, WANG Keyan, CHEN Shaojun. Least squares approximation method for the solution of Volterra-Fredholm integral equations [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, 272: 141-147.

[7] WANG Keyan, WANG Qisheng, GUAN Kaizhong. Iterative method and convergence analysis for a kind of mixed nonlinear Volterra-Fredholm integral equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 225: 631-637.

[责任编辑：韦 韬]

Legendre-Collocation Method and Convergence Analysis for a Kind of Fredholm Integral Equation with Proportional Delay

ZENGTong-hua, WANGHua-sheng, WANGQi-sheng

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, the Legendre-Collocation method is presented for numerically solving the Fredholm integral equation with proportional delay. First, taking some collocation points, the integral equation is translated into algebraic equation. By adopting the Gauss-Legendre integral formula, let the zeros of Legendre polynomials be the collocation points, the integral equation is discreted to algebraic equations. Secondly, the format of numerical solution and convergence theorem are obtained by the Legendre-Collocation method and some numerical examples are given to illustrate the accuracy and dependability of the method.

proportional delay; Fredholm integral equation; Legendre-Collocation method; convergence analysis

1006-7302（2015）04-0005-05

O189.1

A

2015-07-12

广东省自然科学基金资助项目（2015A030313643）；2014年广东省高等学校青年教师培养计划资助项目（syq2014002）

曾统华（1979—），男，湖南邵东人，在读硕士生，主要从事积分微分方程数值解法研究；王奇生，教授，博士，硕士生导师，通信作者，主要研究方向为有限元法、谱配置和无网格方法.