非紧流形间一类映射的Banach流形

龚文敏

(北京师范大学数学科学学院,数学与复杂系统教育部重点实验室,北京100875)

非紧流形间一类映射的Banach流形

龚文敏

(北京师范大学数学科学学院,数学与复杂系统教育部重点实验室,北京100875)

基于Piccione的结果证明了复合映射comp(N,P)×(M,N)→(M,P)的可微性并给出了相应的求导公式,从而推广了Eliasson关于comp第2个变量偏导数可微性结果至非紧流形M的情形.

Banach流形;整体分析;可微性

整体分析与几何、低维拓扑、非线性分析与数学物理等学科中许多问题的研究需要考虑由流形间映射构成的Banach流形[1-2].对有限维的C∞流形M和N,如M紧致,则从M到N的Cr(0≤r≤+∞)可微映射构成的集合具有Banach流形结构(详见文献[3-4]);又两个这样的Banach流形之间的复合映射的可微性及求导公式也已得到(见文献[5]).在M是非紧流形的情形,文献[6]利用公理化的办法解决了某类具有直到k阶有界导数的可微映射全体(M,N)上Banach微分流形结构的存在性问题.进一步,为了得到其整体分析性质,需要研究这样的Banach流形间复合映射的可微性.首先,给出了复合函数comp:(N,P)×(M,N)→(M,P)的求偏导公式.然后,通过引入假设条件(iii),证明了定理3,在此基础上证明了复合函数comp的可微性并给出了具体的求导公式(定理2).

1 预备知识

设M为(非紧)拓扑空间,N是满足Hausdorff公理和第二可数公理的Ck微分流形(k≥3).假设由某类函数f:M→R构成的线性空间(M,R)是一个可Banach空间,即(M,R)的拓扑是由装备在其上的某个范数诱导的拓扑.令Cb(M,Rn)为从M到Rn所有像是有界的映射构成的集合.它在通常范数‖·‖∞下构成一个Banach空间.对Rn中任何开集U,易证是Cb(M,Rn)中的开集.

令

(ii)如果U是Rn中的开集,T:U→Rm是Cl映射,整数l≥0,则映射

有良好定义且连续.

命题1[6]设M为拓扑空间,(M,R)为可Banach化空间且满足公理(i)、(ii),U为Rn中开集且T:U→Rm为Ck映射(k≥l,整数l≥0如公理(ii)),则映射

是Ck-l的.

定理1[6]设M为拓扑空间,N是Rn的Ck+l(k≥2)子流形,则(M,N)为(M,Rn)的Ck-1Banach子流形且在任意f∈(M,N)处的切空间Tf(M,N)可表示为

注1 对任意Ck+l(k≥2)无边流形N,根据Whitney定理有N到某个欧氏空间的Ck+l(k≥2)嵌入φ.利用上面的定理可知(M,φ(N))是一个Ck-1Banach流形,由φ为双射可定义(M,N)上的Banach微分流形结构,且此Banach微分流形结构与嵌入映射的选取无关.

R)有界,∀i=0,1,…,r}.

定义其上的范数‖·‖为

命题2[6]设V⊂Rm是开子集,T∈Cr+1(V,Rn),则

有良好定义且连续,从而公理(ii)成立.

现在设M是Cr光滑无边流形,不一定是紧致的;因欧式空间微分同胚于其中任意开球,为技术上方便我们总能假设该流形能被嵌入到某欧式空间Rd的有界子集中.设U是Rd中包含M的一个开子集,记(M,R)为限制映射

不难知道公理(i)成立.再由交换图表

其中P1,P2为商映射,及命题1可知第1行ωT连续,从而第2行ωT也是连续的,因此对于l=r+1公理(ii)成立.由定理1,(M,N)是Cs-2Banach流形.

本文的主要结果是:

定理2 设M,N,P为Cr+s光滑无边流形(r≥1,s≥3),假设s≥3且M,N,P分别被嵌入到欧式空间的有界子集中,则映射

是Cs-2的且有

2 主要结果的证明

和

下面两个引理表明它们都是Cs-2的.

证明 设V为N在Rn中的管状邻域:V→N为Cr+s-1类收缩映射→Rp为Cr+s类嵌入映射,则映射.由命题1

是C(s-2)的且有

引理2 αg是Cs-2的且Dαg(f):Tf(N,P)→Tf°g(M,P)可表示为

是Cs-2映射且有求导公式(3).

为证明定理2,先在前面公理(i)和公理(ii)的基础上增加假设条件:

(iii)对于公理(ii)中l及Rm和Rn中的任意两个开集U,V映射

有良好定义且连续.

是Cs且有求导公式

其中Ω≜{(x,y)∈V×V|(1-t)x+ty∈V,∀t∈[0, 1]},

易知Ω为V×V中开集且有θf(x,x)=0,∀(x,x)∈Ω.当f∈(V,Rn)时,θf∈(Ω,Rn).从而由公理(ii),θf还定义了一个连续的映射

由假设条件(iii),式(4)可改写为

其中τ1,τ2按假设条件(iii)分别定义为

和

由前面θf的性质可得,当η→0时,τ2(g+η,g)θf→0.再结合式(5)可知,

所以Dτ是Cs-1的,从而τ是Cs的.

下面考虑s=1时comp的微分.对充分小的X∈Cl+1(V,Rp),Y∈(U,Rn)有

其中第2个等式用到了ωf的可微性,第3个等式用到了τ的连续性.所以

最后采用归纳方式可证comp是Cs的.

其中C(g)是一个充分大的常数,通过对r作归纳可得此常数.由式(6)

表明τ是局部Lipschitz的,从而是连续的.

定理2的证明 令U,V分别是M和N在Rm和Rn中的管状邻域,对应收缩映射分别设为π:U→M和:V→N.又令:P→Rp和:N→V都为嵌入映射.则

复合映射comp可分解为:

其中,第2个等式用到了定理3,第4个等式用到引理2,第6个等式用到引理2,最后一个等式成立是因为将P视为包含于Rp中的子流形.

致谢 衷心地感谢卢广存教授的悉心指导.

[1] Chang K C.Infinite dimensional morse theory and multiple solution problems[M].Boston:Birkhauser,1993.

[2] Lang S.Introdution to differentiable manifolds[M].New Xork:Interscience,1962.

[3] Eells J.A setting for global analysis[J].Bull Amer Math Soc,1966,72:751-807.

[4] Palais R.Foundations of global nonlinear analysis[M]. New Xork:Benjamin,1968.

[5] Elliasson H I.Geometry of manifolds of maps[J].J Diff Geom,1967,1:169-194.

[6] Paolo P,Daniel Tausk V.On the Banach differential structure for sets of maps on non-compact domains[J]. Nonlinear Analysis,2000,46:245-265.

Banach Manifolds of a Class of Maps Between Non Compact Manifolds

GONG Wen-min
(Laboratory of Mathematics and Complex Systems of Ministry of Education, School of Mathematical Sciences,Beijing Normal University,Beijing 100875,China)

Based on the result of Piccione P.,we prove the differentiability of the map comp:Cr+sb(N,P)×Crb(M,N)→Crb(M,P) and establish the formula of the derivative of comp,and so generalize Eliasson H.I.′s result regarding the differentiability of comp′s partial derivative with respect to the second variable to the case,in which M is a non-compact manifold.

Banach manifolds;global analysis;differentiability

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.02.013

O 186

A

0438-0479(2015)02-0229-04

2014-02-26 录用日期:2014-08-24

国家自然科学基金(10971014,11271044)

Email:gongwenmin0774@163.com

龚文敏.非紧流形间一类映射的Banach流形[J].厦门大学学报:自然科学版,2015,54(2):229-232.

:Gong Wenmin.Banach manifolds of a class of maps between non compact manifolds[J].Journal of Xiamen University: Natural Science,2015,54(2):229-232.(in Chinese)