阶化平移Toroidal李代数的Boson表示

连海峰,叶从峰

(1.福建农林大学计算机与信息学院,福建福州350002;2.福州大学数学与计算机科学学院,福建福州350108)

阶化平移Toroidal李代数的Boson表示

连海峰1*,叶从峰2

(1.福建农林大学计算机与信息学院,福建福州350002;2.福州大学数学与计算机科学学院,福建福州350108)

阶化平移Toroidal李代数是Toroidal李代数的推广,它们基本上都不是根阶化的.利用Weyl代数和Clifford代数分别构造了阶化平移Toroidal李代数的一类带参数λ的Boson表示和Fermion表示,这类表示是忠实的,并且证明这类表示是酉表示的充要条件是λ=

Toroidal李代数;Boson表示;酉表示

Torodial李代数是仿射Kac-Moody代数的推广,它是多元Loop代数的泛中心扩张.所有的Toroidal李代数都是根阶化的,关于它的发展历史、结构理论和表示理论可参阅文献[1].阶化平移Toroidal李代数最早出现在文献[2]中,它是在研究TKK(Tits-Kantor-Koecher)代数的过程中发现的.随后,文献[3]推广了这一类无穷维李代数(称之为阶化平移Toroidal李代数),并研究它们的导子、泛中心扩张以及有限维不可约表示.这类代数的特点在于它们基本上不是根阶化的.文献[4]研究2个变量情况下该李代数的自同构群,并构造了一类Boson表示.文献[5]指出了这类李代数的自同构群与半格上的线性群的关系.

Boson场和Fermion场与顶点算子代数有着密切的关系.Frenkel等人最先利用Clifford代数中的元素和Weyl代数中的元素分别构造了仿射正交李代数的Fermion表示和典型仿射李代数的Boson表示[6-7].文献[8]构造了扩张仿射李代数的Boson表示和Fermion表示,并研究表示的酉性.本文构造了李代数的一类带参数λ的Boson表示和Fermion表示,并研究表示的酉性,主要结果见定理1和定理2.

1 阶化平移toroidal李代数

设son(n≥3)是n阶复正交李代数.令aij=Eij-Eji,其中Eij是(i,j)元为1,其余元为0的n阶矩阵.{aij|1≤i＜j≤n}是son的一组基,且当i,j,k,l互不相同时,有

其中,1≤i,j,k,l≤n且互不相同,g,h∈A.

引理1[3]son⊗关于上述扩积运算构成李代数,记作Ln(f1,…,fn).当f1,…,fn都是中可逆元时,Ln(f1,…,fn)≅Ln(ts1,…,),其中s1,…,sn都是Zν中每个分量为0或1的元素.

其中,1≤i,j,k,l≤n且互不相同,α,β∈Zν.

括积运算如下:

其中,βσ,ατ分别为β的第σ个分量和α的第τ个分量.定义Dσ(α)在李代数上的作用使得:

则Dσ(α)是李代数的导子.容易验证,Der A中的元素做为李代数的导子也满足式(2).

2 Boson表示与Fermion表示

其中,ρ=±1,当a=b时δab=1,当a≠b时δab=0.

其中f∈M.对任意的λ∈C,定义线性映射ψλ:→gl(M)使得:

其中i,j∈{1,…,n},σ∈{1,…,ν},α∈Zν.

由式(5)、(6)可知,当i,j,k互不相同时,有

引理2 假设i,j,k,l∈{1,…,n}且互不相同, α,β∈Zν.则有

证明 由式(4)～(6),有

和

进而有

(i)得证.同理可证(ii)和(iii).

引理3 对任意的σ,τ∈{1,…,ν},α,β∈Zν,都有

证明 由式(4)～(6),有

进而有

引理4 假设i,j∈{1,…,n}且互不相同,σ∈{1,…,ν},α,β∈Zν.则有

证明 由式(4)～(6),有

和

进而有

引理5 ψλ:→gl(M)是单射.

证明 假设x= ∑α∑i＜jcij,αXij(α)+∑α

∑σdσ,αDσ(α),使得ψλ(x)=0,其中cij,α,dσ,α∈C.下面证明x=0.∀k∈{1,…,n},β∈Zν,由式(6),有

进而有

cik,α=ckj,α=0, ∀i,j:i＜k＜j,∀α∈Zν;

于是,由k,β的任意性可得cik,α和dσ,α全为0,所以x= 0.因此ψλ是单射.

定理1 对任意复数λ,(M,ψλ)是李代数的忠实表示,并且Mm是子模直和.

证明 由引理2～5可知,(M,ψλ)是李代数的忠实表示.由式(4)～(7)可知,每一个Mm都是ψλ()的不变子空间,从而都是M的子模.因此Mm是子模直和.定理得证.

3 酉表示

证明 由ω的定义可知,ω共轭线性且ω2=id.对任意i,j,k,l∈{1,…,n}且互不相同,α,β∈Zν,σ,τ∈{1,…,ν},有

证明 假设(M,ψλ)是李代数关于反对合ω的酉表示,(·,·):M×M→C是满足

的正定Hermite型.对任意的0≤i≠j≤n,α,β∈Zν,由ψλ和ω的定义,有

(i)(·,·)关于第一个分量R-线性,关于第二个分量复共轭线性; =1,…,n,α∈Zν.

由于M=S(V)或Λ(V),容易验证(·,·)是M上的正定Hermite型,且∀u,v∈M,i=1,…,n,α∈Zν,有

于是∀c∈C,有

所以式(8)成立,从而(M,ψλ)是李代数的酉表示.综上所述,定理得证.

[1] 谭绍滨,陈福林.Toroidal李代数的结构和表示[J].厦门大学学报:自然科学版,2011,50(2):149-164.

[2] Lian H,Tan S.Stucture and representation for a class of infinite-dimensional Lie algebras[J].Journal of Algebra, 2007,307:804-828.

[3] 孔小丽.阶化平移Toroidal李代数与Baby-TKK代数的表示[D].厦门:厦门大学,2009.

[4] Chen C,Lian H,Tan S.Automorphism group and representation of a twisted multi-loop algebra[J].Acta Math, Sinica English Series,2010,26(1):143-154.

[5] Xia Z,Tan S,Lian H.Automorphism group of a class of gradation shifting toroidal Lie algebras[J].Algebra Colloquium,2010,17(4):705-720.

[6] Frenkel I.Spinor representations of affine Lie algebras [J].Proc Natl Acad Sci USA,1980,77:6303-6306.

[7] Feingold A,Frenkel I.Classical affine algebras[J].Adv Math,1985,56:117-172.

[8] Gao X.Fermionic and bosonic representations of the extended affine Lie algebra[J].Canad Math Bull,2002,45: 623-633.

Bosonic Representations for Gradation Shifting Toroidal Lie Algebras

LIAN Hai-feng1*,XE Cong-feng2
(1.School of Computer&Information Science,Fujian Agriculture and Forestry University,Fuzhou 350002,China; 2.College of Mathematics&Computer Science,Fuzhou University,Fuzhou 350108,China)

Gradation shifting Toroidal Lie algebras are generalization of Toroidal Lie algebras.In general,they are not graded by root systems.In this paper,using Weyl algebra and Clifford algebra,we construct a class of faithful Bosonic representations and Fermionic representations for the gradation shifting Toroidal Lie algebras with parameterλ.We prove that such a representation is unitary if and only if the parameterλ=

Toroidal Lie algebra;Bosonic representation;unitary representation

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.02.012

O 153.5

A

0438-0479(2015)02-0224-05

2014-03-24 录用日期:2014-08-25

国家自然科学基金青年项目(11302052);福建省自然科学基金(2010J05001)

*通信作者:hlian@fafu.edu.cn

连海峰,叶从峰.阶化平移Toroidal李代数的Boson表示[J].厦门大学学报:自然科学版,2015,54(2):224-228.

:Lian Haifeng,Xe Congfeng.Bosonic representations for gradation shifting toroidal lie algebras[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(2):224-228.(in Chinese)