一道二次曲线间交点问题的错解反思

刘鸿春

1错解呈现

例1抛物线x2=2py（p>0）的焦点F恰好是双曲线y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，求该双曲线的离心率.

解答由x2=2py，

y2a2-x2b2=1消x得b2y2-2a2py

-a2b2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线与双曲线的两个交点，则y1+y2=2a2pb2，由对称性知AB垂直于y轴且过焦点F，因此y1=y2=p2，所以p2+p2=2a2pb2，即b2=2a2，得离心率e=3.2错解剖析

抛物线和双曲线的交点A（x1，y1），B（x2，y2）都在x轴上方，因此y1>0且y2>0，而方程b2y2-2a2py-a2b2=0的两根是一正一负，因此该方程的两根并非是y1和y2，由此用韦达定理解题带来错误.

但可以肯定：y1=y2且y1是该方程的根；上述方程中，y有一个负实根，这负实根应该舍弃，因为把它代入抛物线x2=2py（p>0），没有意义.

把该解法修改一下可以得到如下正确解法.

正解由x2=2py，

y2a2-x2b2=1消x得b2y2-2a2py

-a2b2=0…①.由题意知抛物线和双曲线交点的纵坐标为p2，因此p2是方程①的解，则

b2（p2）2-2a2p·p2-a2b2=0……②，

又p2=c…………③

由②，③消去p得

b2c2-4a2c2-a2b2=0，

由此解得e=2+1.

3错解反思

若直线方程和二次曲线方程消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，为何我们可以通过该一元二次方程的判别式来判定直线和二次曲线的交点个数，通过韦达定理来研究与交点有关的问题.而一般情况下，若两个二次曲线方程消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，却不可以通过它的判别式和韦达定理解决类似问题？

记二次曲线C1：f1（x，y）=0，二次曲线C2：f2（x，y）=0，直线l：Ax+By+C=0.