数据分析能力在高考评价中的体现

李春长++刘锡光

1引言

随着大数据时代的到来，数据分析能力在高中数学教育中显得愈发重要.《义务教育数学课程标准》（2011）在课程设计思路中指出：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律.数据分析是统计的核心.”[1]

数据分析与概率是我国义务教育和高中“数学课程标准”的主干内容，从数据分析观念到高中的数据分析能力，如何发展学生的数据分析能力，受到数学教师的广泛关注.然而，在实际教学中，不少师生把数据分析等同于代入公式进行计算，这就使学生失去了感知数据、认识数据、探索与发现规律的机会[2].笔者通过对2015年全国卷相关试题展开分析，探索高考对学生数据分析能力的评价规律，希望引起我们重视对于学生数据分析能力的培养.

2样例

例1投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为06，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）.

A.0648B.0432C.036D.0312

（2015年理，全国卷Ⅰ，4）

析解本题主要通过学生对于有关“事件”的概念的理解考查学生的数据分析能力.“事件”是概率统计中的重要概念，学生通过对所求问题的分析可知，通过测试的条件为2次或者3次命中投篮，将两个情况的概率求和就可以得到正确答案A.另外，也可以通过求其对立事件（0次或者1次命中投篮）的反面，得出正确答案.

本题常见错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别.

本题从概率这个侧面考查了学生的数据分析能力.

可以说，对“事件”相关概念的透彻理解是概率统计教学中的重点也是难点，因为它是概率统计的核心知识点，也是更进一步学习概率统计必备的基础，更是培养学生数据分析能力的重中之重的基础.

例2根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（）

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

（2015年理，全国卷Ⅱ，3）

析解本题通过柱形统计图考查学生的数据分析能力.统计学中的统计图表是培养学生数据分析能力的良好载体.柱形统计图更是清晰地展现了数据的变化趋势，这也是本题考查的重点，学生只有通过比较得出答案.

本题的常见错误在于不能清楚的看出数据的变化趋势，以及不理解正相关与负相关的含义.

逐项分析，可以发现，2006年以来我国二氧化硫年排放量随着年份的增加而减少，应当为负相关，不难选出正确答案D.在统计教学中，对统计图表的整体分析往往轻视，而重于简单的画图和计算，由此题可以看出，对于统计图表所代表的涵义的理解是高考考查的重点，应当引起重视.

例3某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62738192958574645376

78869566977888827689

B地区：73836251914653736482

93486581745654766579

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.

（2015年理，全国卷Ⅱ，18）

析解本题主要通过茎叶图考查学生的数据分析能力.茎叶图一般不单独拿出来考，往往和其它知识点联合出题，例如均值、标准差、中位数、众数等.要能正确解答这类问题，还必须搞清楚均值、标准差、中位数、众数的定义.

本题常见错误在于无法正确阅读茎叶图，造成整个题目的错误判断.这些问题说明了统计基础知识在日常教学中应当受到重视，数据分析能力显然要建立在对数据的通透读懂基础之上.

实际上，茎叶图实际上是统计中的一个计分模式.茎叶图又称为“枝叶图”，它是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干茎，将变化大的位的数作为分支叶列在主干的后面，这样就可以清楚的看到每个主干后面的几个数具体是多少.搞清楚茎叶图的意义，便能读懂茎叶图，便能求出茎叶图所给数据的中位数、众数、均值.该题要求不需要通过计算出具体值，得出结论即可，也考查学生对于数据的敏感性.

该题的第二问考查的对象是随机事件的概率，与试题一考查的内容一样，在此不再赘述.

例4某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

∑8i=1（xi-）2

∑8i=1（wi-）2

∑8i=1（xi-）（yi-）

∑8i=1（wi-）（yi-）

4665636828981614691088

表中wi=xi，=∑8i=1wi

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

β^=∑ni=1（ui-）（vi-）∑ni=1（ui-）2，α^=-β^

（2015年理，全国卷Ⅰ，19）

析解本题主要通过线性回归方程考查学生的数据分析能力.对于统计中线性回归以及函数中变量替换的理解，学生通过判断线性和非线性可以得出第一问的结果.由于在高中教学中未涉及非线性的回归方程，第二问以非常巧妙的变量替换将非线性方程转化为了线性回归方程，对学生数据分析能力的考查效果明显.第三问又将所求方程应用于实际问题的解决之中，与课标要求的培养学生对数学的应用意识相符合，可见，是一道对学生综合考查数据分析能力的好题，学生掌握了以上的知识，不难完整地解决这个问题.

本题的常见错误在于：1.无法正确判断线性与非线性方程；2.无法作出变量替换；3.线性回归方程的系数求解出错.

若两变量有关系的话，存在两种关系，函数关系和相关关系.函数关系是确定的，相关关系是不确定的，函数关系是理想化的关系模型，相关关系是一种更一般的情况.对两个变量有无线性相关关系进行统计分析，若确认有的话，便称估计这种关系的统计方法叫做线性回归分析[3].高考中线性回归分析主要考察线性回归方程的求解，并由求解的方程做预报或要求对某个变量做出解释.

此题的难点在于将非线性方程转化为了线性回归方程，成功转化之后，线性回归试题主要求回归直线方程，从上面的例题分析看出，求回归直线方程主要在于求和，掌握到和的求法，并计算正确，而本题中已经给出了一些计算结果由学生自行挑选，与课标规定的重理解轻计算的理念相符合，至此这类问题便可迎刃而解.3结论

通过以上试题的分析，我们可以发现高考中考查数据分析能力的试题的难度是有所提升的，高考中概率统计是一个命题的重点.参加高考复习的师生双方能准确的把握“概率统计”在高考中所占的“地位”份量及难度，以便能更加“精确”地组织及应对“概率统计”的复习，这就要求教师在日常教学中对于统计内容应当给予足够多的重视，着力于培养学生的数据分析能力.

笔者将新的数学课程标准与旧的教学大纲中数据分析部分内容进行横向比较来看，新课标加大加深了很多概率统计的知识点，比如独立性检验等内容.纵观整个中小学的概率统计教学，可以看出，高中数学的概率统计部分相对于初中和小学的概率统计有了长足的拓展.回归到高中数学的概率统计教学来看，这些新增加的知识点是以前的高中老师没有教过的，高中的学生也从来没有接触过的.如何搞好高中新增概率统计的教学，如何引导学生正确处理高考中概率统计试题是一个摆在我们面前崭新的课题，如何更有效的提升学生的数据分析能力，期待更多的人去研究.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部订.义务教育数学课程标准（2011年版）[].北京：

北京师范大学出版社，2012.

[2]王林全.发展学生数据分析能力的要领[J].中学数学教学参考，2008（1）：

17-20.

[3]陈立强.高中数学教学概率统计部分浅析[D].华中师范大学，2011.

作者简介李春长，男，江西吉安人，江西师范大学硕士在读，研究方向为数学史与数学教育.刘锡光，男，江西师范大学副教授，研究方向为数学教育心理学，《中学数学研究》杂志主编.恭祝杨世明（杨之）老师80岁大寿

王方汉八十春秋历史长河短暂一瞬，经风沐雨硕果累累恭祝长龄。初数研究从起步到北京盛会，二十四载从弱到强发展至今。遥想当年运筹帷幄宏篇三论，摇旗呐喊身先士卒广罗精英；问题课题字字珠玑引领来者，不等式链折线数阵绝对方程；妙用方法籍凭哲学呼风唤雨，钟情初数潜心探索谱写丹心。积学储宝披星戴月年复一年，沙金石玉坎坷无价终修大成。群芳齐寿正值良辰春满人间，耄耋奋进期颐可待松柏长青。2015年7月15日北京回龙观