关于圆中常用辅助线的添加

俞光清

中图分类号：G633 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）10-0037-01

圆的知识是初中数学中的重点内容之一，是中考常考内容之一，在中考中关于圆的问题，很多需要添加辅助线帮助解题，下面是关于圆中辅助线的添加的一些小结。

一、 遇到弦时，作圆心到弦的距离

遇到关于弦的问题时，常作圆心到弦的距离，再利用圆心角、弦心距、弦、垂经定理等相关的知识进行解决问题

例1 如图1，MN是⊙O的直径，AO⊥MN交⊙O于A点，弦AC与MN相交于点D。

求证：AD·AC=2AO2。

分析：要证明AD·AC=2AO2，即证明AD·AB =AO2，过O点作OB⊥AC于B，由垂经定理可知 AB=BC，只需证明AD·AB =AO2，要证明AD·AB =AO2只需证明Rt△AOB∽Rt△ADO。然后根据对应边的比率关系就可以得出结果。

二、遇到有直径时，作直径所对的圆周角

在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。

例2 如图2所示，在△MAN中，∠AMN=90°，以AM上一点O为圆心，以OA为半径的圆分别与NA、MA相交于点C、B两点.（1）求证：CA·NA=BA·MA；（2）若CM与⊙O相切，B是MO的中点，当NM为3时，求NA的长度。

分析：（1）要证AN·AC=AM·AB，只需要证明△AMN∽△ACB，而∠M=90°，所以需要△ACB中有个直角，而AB是圆O的直径，所以连结BC可得∠BCA=90°。然后根据对应边的比率关系就可以得出结果。（2）根据直角三角形的性质：斜边中点到直角顶点的距离等于斜边的一半，可以知道△CBO为等边三角形，然后根据共弧圆周角与圆心角的关系可得出∠A=30°，从而得出结果。

三、连结半径

半径是圆的重要组成部分，圆中的许多知识如：“同圆的半径相等”以及“过切点的半径垂直过该切点的切线”等都与圆的半径有关，利用半径是常用的添加辅助线方法之一。

例3 如图3所示，△ACD中，∠CAD=90°，B是AC上一点，以AB为直径的圆与DC相切于M点，MC=2，BC=1，求MD的长。

分析：M为切点，连结OM，则∠OMC=90°，根据切线的性质，有DM=DA，MO=BO=半径r，在Rt△CMO中根据勾股定理或Rt△AMO∽Rt△CAD，即可求出DM。

四、连结公共弦

在遇到有关相交圆的问题时，做公共弦有着极大的意义，所以“遇到相交圆，连接公共弦”。

例4 如图4所示，⊙O1与⊙O2相交于点M、N，O2O1的延长线与⊙O1相交于B点，MB、NB的延长线和⊙O2分别交于点C和点D，求证：ND=MC。

分析：⊙O1和⊙O2是相交的两圆，由连心线与公共弦的关系可知BO2为角平分线，然后利用全等三角形可得出BM=BN和BC=BD，从而得出结果。

五、作圆心连接线

两圆相交时，圆心连接线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，圆心连接线一定经过切点。通过作两圆的圆心连接线，可以将公共弦、两圆半径、圆心距之间的关系紧密联系。因此两圆相交时，圆心连接线也是常用添加辅助线的方法之一。

例5 如图5所示：⊙ O1与⊙ O2相切于点M，⊙ O1的半径为r，⊙O2的半径为3r， AB是⊙O1和⊙O2的公共切线，A和B分别是两圆的切点，求：（1）切线AB的长度； （2）切线AB与弧MA弧、MB所构成阴影部分的面积。

分析：（1）连结O1O2、O1A、O2B，由题意可知O1 N=AB，然后利用两圆半径关系和勾股定律可得出结果；（2） 阴影部分面积为梯形面积减去俩弧形面积。

图1 图2 图3 图4

图5 图6 图7 图8

六、作公共切线

分析：两圆相切时，过公共切点有一条公共切线，该公切线在在两圆之中有着桥梁的作用，在例6中作公切线MN，可以紧密联系两圆，所以，两圆相切时，过切点作公共切线是常用添加辅助线的方法。

例6 如图6所示，⊙O1与⊙O2外切于点P，MN是⊙O1与⊙O2的公共切线，M、N分别为两圆切点。求证：MP⊥NP

分析：过切点P作公切线PA交MN于A点，由切线性质可知AM=AP=AN，然后三角形内角和可知∠MPN= 90 °

七、判定切线有两种情况：是否与圆相交未知的情况下作垂线；确定与圆相交作半径，由切线的判定定理：“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。”可知，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线与半径垂直。因此，证明直线与圆相切时，经常要通过作合适的辅助线，才能有效、快速地解决问题，以下是常用辅助线的添加方法。

（一）无交点作垂线。如果条件没有指出与圆有交点，则联系切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂线段的长度与半径相等。

例7 如图7，MN是⊙O的直径，AM⊥MN于M， BN⊥MN于N，若∠AOB= 90°。求证：AB是⊙O的切线。

分析：过圆心O作OD⊥AB，只要证明OD与半径相等。因为OM是半径，若能证OD与OM相等即可。而OD和OM分别在△ADO和△AMO中，只需证明△AMO与△ADO全等，取AB的中点C，连结OC可知OC∥AM，∠AOB为直角可知CO=CA，再联系平行线的性质可得到AO为角平分线，可证明ADO≌△AMO。

（二）园上有点连接圆心。当直线与圆相交时时，联系切线的判定定理，只要连接交点和圆心，再判定直线与半径是否垂直。

例8 如图8，以MN为直径做⊙O，BN与⊙O相切， N是切点，OB与弦MA平行，求证：BA与⊙O相切。

分析：A是⊙O上的点，有点连接圆心，连接AO，只需证明OA⊥AB。由平行线的性质可推理出∠BOA=∠AOB，从而得出△AOB≌△NOB。

（作者单位：江西省鄱阳县凰岗镇太阳学校）endprint