用细胞神经网络与无限折叠映射对图像加密

武++剀++李国东

摘要：针对图像在传输中的安全隐患问题，依据混沌理论，采用六维细胞神经网络与无限折叠映射混沌系统相结合的方法，对数字图像进行加密，实验结果表明：加密后的图像统计特性不明显，相邻像素间的相关性小，抗攻击性强，安全保密性高，借助混沌序列随机性强和多维细胞神经网络可以加大密钥空间的特点，实现了图像的有效加密.

关键词：混沌；细胞神经网络；无限折叠映射；图像加密

DOI：IO.15938/j.jhust.2015.03.006

中图分类号：TP273

文献标志码：A

文章编号：1007- 2683（ 2015）03- 0030- 05

0 引 言

混沌是自然界及人类社会中普遍存在的一种非线性现象，它是确定性非线性系统产生的类似随机性的行为，确定但是又难以预测.在混沌系统中，当初始值发生微小的变化，整体的运动轨道就会发生巨大的变化，无法预测.混沌学兴盛于20世纪70年代，法国的数学家庞加莱被公认为是混沌理论的创始者，他在研究三体问题时把动力学系统和拓扑学相结合，认为三体问题的某些解具有不可预测性，这就是一种保守系统中的混沌.1971年，RU-ELLE和TAKENS发表文章《论湍流的本质》，提出了用混沌描述湍流形成机理的论点.PECORA和CARORN于1990年发现了混沌可以被同步并且用电路实现了同步.由于混沌系统的确定性和随机性的特点，只要给定系统的参数和初始条件，混沌特征就能够被反复呈现.也正是由于混沌系统的这些确定又敏感的特点，使得它能够更好的应用于密码学.利用混沌系统的遍历性，可以产生许多难以重构和预测的混沌序列，让不法破译者难以破解，因此用于加密信息非常合适，而且它的随机性、抗破译能力都胜于传统的序列密码，这使得混沌序列能够成为一种加密序列.英国数学家Matthews于20世纪80年代末首次提出了混沌序列在密码学中的应用.

同一时期，计算机和网络通讯技术也得到了迅猛发展，这大大加快了人类社会信息的交流速度，然而信息时代的信息传输技术给人们带来方便的同时也伴随着安全隐患，网络作为公共的资源平台，存在着信息窃取，破坏等诸多弊端，数字信息的传输对个人和社会的发展都有着重要的影响，已成为国防和国民经济的重要组成部分.所以对信息的保密工作要求不断提高，图像在传输中的安全问题也越来越受到人们高度重视，从而对密码学的要求日益提升.密码学历史源远流长，起初只是独属于军事方面的一项技术研究，后来传播并应用到民间社会，更兴起了商业密码学的热潮.SHANNON曾经发表的著作“保密的通信理论”，引领了密码学的发展方向，图像加密属于密码学范畴，加密图像通常有几个特征，图像的像素值和像素点的位置一般都会发生变化加密图像的统计特征不明显，而且各相邻像素间的相关性很低，文章依据混沌理论，在已有学者的研究基础上，将两种混沌系统结合进行加密，验证了其可靠性.

1 细胞神经网络混沌系统

在1988年，CHUA和YANG两人最先提出了细胞神经网络细胞神经网络（cellular neural network，简称CNN），它是一种具有实时信号处理能力的大规模非线性模拟电路，它的基本单位是细胞，是一种局部互连的神经网络系统，一个MxN的细胞神经网络有M行Ⅳ列的细胞排列组成，C（i，j）表示第i行第j列的细胞，定义C（i，j）的r邻域如下：

式中： 为半径为r的C（i，j）的邻域；c（m，n）为该邻域内的细胞，图l表示了3种邻域的细胞结构图（粗线表示中心细胞）：

图1不同邻域的细胞神经网络结构分布图

用一阶非线性微分方程的形式表示细胞的状态方程如下式：式中： 为阈值常数；Yij为输出变量，可以表示为戈ij的分段函教；P为线性电容；Rx为线性电阻；矩阵M为反馈模板；矩阵Ⅳ是控制模板.

在细胞神经网络系统中，细胞间的联系主要由控制模板和反馈模板来决定，文章选择六维的参数模板可以加大密钥空间，并且验证了其混沌特性，下面是构造的多维细胞神经网络的状态方程：其中：

在混沌理论研究中，格里波基曾证明出可以根据Lyapunov指数判定混沌的存在性，其中只要保证至少有一个Lyapunov指数为正数，就可以说明该系统是混沌系统，通过计算Lyapunov指数法来研究系统（4）的动力学行为，得到6个Lyapunov指数分别为：

其中：有1个正的Lyapunov指数，所以系统（4）是一个混沌系统.利用四阶Runge -Kutta算法求解式（5），图2为系统（4）产生的混沌吸引子.

2 图像加密算‘法

图像加密过程由六维细胞神经网络系统构造出六组混沌序列，作为图像加密的秘钥源，再根据一种无限折叠映射进行图像置乱，实现图像的加密.其映射是一串数列，后一个数可以写成前一个数的通项公式， 是q与 的商对p取模，其中， .该映射系统是一维Markov系统，具有一个正的李雅普诺夫常数，因此是混沌系统.当a趋近于正无穷或者6趋近于0时，该混沌系统的不变分布图趋近于均匀分布.并且当b=l且a>10或者当a=l且6<0.5时，所得到的序列可以通过均匀性统计检验.

1）加密方案展示图

2）加密算法具体步骤

步骤1：根据细胞神经网络混沌系统（4），给定参数取值，并赋初始值（0.2，0.2，0.2，0.2，0.2，0.2），从结果中选取固定的3个值作为密钥（文章取X1，x2，X3三组序列的第200位数作为密钥值）.

步骤2：读取明文图像，截取大小为MxN的图像矩阵，利用一维无限折叠映射混沌系统，取a=25，b=l，将密钥值代人公（4），产生3组不同的混沌序列.

步骤3：将步骤2中产生的混沌序列按照3：6：1的权重进行叠加并求和，将结果取整且保证值不超过256，形成置乱矩阵，

步骤4：加密处理，按照一定的权重将明文图像矩阵与置乱矩阵值对应相加并求和，形成密文图像.

步骤5：解密，按照上述步骤的逆过程进行解密.

3）实验结果模拟

根据上述加密算法，对rlce米粒图像和lena图像进行加密，利用MATLAB7.0进行编程运行，得到如下结果：

3 实验结果分析

1）相关性分析

相关性系数定义如下：其中： 是数x与数 的相关系数；E，D表示均值和方差；x，y在图像中表示相邻像素值，

本文从水平，竖直，对角3个方向随机选取了10000个相邻像素，对它们进行了相关性分析，原始图像在水平方向上各相邻像素间的相关系数为0.9373，加密后的图像像素相关系数为0.0198，取垂直方向，原始图像相邻像素相关系数为0.9223.加密后变为0.0437，而对角线方向，原始图像相邻像素相关系数为0.9105，加密后变为0.0596，很容易可以看出，经过加密以后，图像中各相邻像素的相关系数大大下降，接近于0，说明此算法可行.

2）密钥敏感性分析

密钥敏感性分析是指当密钥发生微小的变化时，对同一图像用同样方法加密后的密文图像就无法解密.如把秘钥keyl增加10-15，此时解密图像如图5，结果表明，本文的加密算法对密钥有很强的敏感性，可以有效提高图像的安全性能.

4 结 论

我们的社会不断发展，尤其在高科技领域不断突破，这使人们很快进入到虚拟的网络时代，然而它在带给我们诸多便利的同时更潜伏着大量危机，人们的隐私，国家的重大机密都有可能被网络吞噬，因此信息的安全保障问题越来越受到人们以及国家的关注.对图像信息的加密能够有效起到一定的防御作用.文章在研究混沌理论的基础上，利用细胞神经网络和一种无限折叠映射的复合混沌系统对图像进行加密，选择高维的细胞神经网络混沌系统可以加大密钥空间，采用随机性强的混沌序列作为密钥源易于管理，在此加密方案下，图像像素的统计特性被更改，相邻像素间的相关系数也大大降低，起到了隐藏图像真实信息的作用.