信息技术帮助提升学生的数学核心素养

赵春+++张思明

名师速写

张思明老师，工作于北京大学附属中学，理学博士，数学特级教师，享受国务院特殊津贴专家，北京市有突出贡献人才，是全国自学成材的先进典型。曾当选“北京市十大杰出青年”、北京市青年教师的“师德之星”、2004年评为“全国模范教师”，2005年评为“全国中小学十杰教师”。 1999年获得数学教育的最高奖“苏步青数学教育奖”一等奖。1999年、2004年、2013年三次获北京市基础教育教学成果一等奖， 2014年获全国基础教育教学成果奖一等奖。

张思明老师的淡然、坚韧、仁爱、思辨，更让人清晰地看到了一个自学成才，在三尺讲台上挥洒汗水，在奉献创造中孕育快乐的教师形象。有人称他为当代教育家，但是张思明老师却认为他只能算一个“有自己的一点教育理想和想法的教育工作者”。作为一个教育工作者，他认为最重要的一点是要“用心去做教育”。有了“用心去做教育”这样的信念，一言一行就会不自觉地去进行教育实践。

张思明老师曾担任班主任18年，年级主任4年。他以中学数学建模的教学探索和实践，突出表现了激发学生自主性、创造性的教学特色和风格。在教育上他讲究教育的科学性、实效性和及身性，注重思想教育与科学知识的结合和无形教育环境的创设，特别注意培养学生对集体、民族、国家和社会的责任心和自身的进取精神。如张思明老师所说：“只有教师的创造力，才可能激发学生的创造欲；只有教师自己不断学习，自主地钻研探索教学规律，才有可能影响学生自主的学习和钻研；只有在充满生命力与和谐气氛的教学环境中，师生共同参与，相互作用，才能摩擦出智慧的火花，结出创造之果。”

在教师职业生涯之中，张思明老师从未懈怠，始终追求与践行自己的职业理想：努力使自己成为“一个内心世界丰富的人，一个富有爱心和教养的人，一个富有想象力和创造力的人，一个能够唤起人们对生活的热爱的人，一个能够‘学而不厌，诲人不倦的人”。

新一轮的课程改革正在讨论实施中，新的高中课程标准也正处于修订状态。这一轮改革将以提升学生的学科核心素养为核心目标，而数学学科的核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析六个部分。

提升学科核心素养的目标需要我们更加有效地利用课堂，培养学生的学习兴趣和热情，提高学生学习的效率。让学生充满热情地去发现和观察，去主动探究，让学生自己动手，在课堂上积极参与，而不是被动地接受。

如何让学生的手、脑能高效率地动起来，这是课程设计的核心，也是信息技术大有可为之处。借助于一些普通的信息工具和浅易的信息技术，通过数学实验、课堂观察、操作体验等做法可以让不同层次的学生更有效地参与到课堂中来。

数学实验教学方法理论上已经存在了多年，但一直以来，因为技术条件和种种客观条件的限制，这种教学方法在实际操作中一直没有太大的发展。在中学数学课堂教学中，传统的纸笔模式迄今为止仍然是中学数学教学的主流模式。但现在，技术的更新和进步正悄然改变着我们的课堂，资讯的发展也为我们提供了重新研究数学实验教学的条件和时机。

那到底什么是数学实验教学？数学实验教学是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题的一种教学过程。在这个过程中，教师更多的是通过提问引导和启发学生学习研究数学问题，教师仍然处于主导的地位，而学生处于主动学习的地位*。

我们选取了日常数学学习中的几个例子，这些例子都用到了上面所提到的数学实验教学模式，借助于信息技术，数学实验教学模式可以更好地帮助学生提升数学核心素养。

信息技术帮助学生学习数学概念

案例1 对指数爆炸的直观理解

在学习指数运算时，课本上提到了指数爆炸这个名词。如果局限于纸笔运算，我们在课堂上大部分时候只能让学生算算整数底的某些次幂。借助于信息技术，现在我们可以让学生先计算1.1的平方和立方，再提出问题：请你猜测1.1的100次幂大概是多少？1.1的260次幂又大概是多少？学生给出的猜测一定是多种多样的，而计算器所给出的结果也会让大部分学生有一个难忘的记忆。在课堂实验实际操作时，所有的学生都没有猜到1.1的260次幂能达到1010数量级。同样可以让学生猜测0.99的100次幂和260次幂的数值。以这样一种方式，不仅使学生更容易理解指数爆炸的含义，而且能帮助学生记住底数对幂的影响。学生能够直观感受到当底数大于1时，随着指数的增大，幂在变大；当底数小于1时，随着指数增大，幂在变小。

工具：计算器或计算机。

实际操作：

方法1：在科学计算器中输入1.1^100，返回答案13780.61234......

方法2：在Excel表格中键入“=1.1^100”，返回答案13780.61234；

键入“=1.1^100”，返回答案57822669934......

案例2 对数列求和的帮助

数列的求和是学生学习的一个重点和难点，等差、等比数列求和已经让学生们感到困难，当对另一些有规律的数列进行求和时，就更让学生们头痛了。信息技术的使用也许能帮助提升学生的兴趣。比如 ，可以让学生先借助于计算器累加上去，记录下每一步计算的结果后进行猜想，再相应地进行证明或推导。如果有学生觉得需要自己记录结果太麻烦，可以启发学生能否借助于计算机语言编写小程序，自动输出级数数列，这样可以大大减少输入和记录的工作量。这个求和问题结论的猜想和推导解决之后，还可以让学生思考并推广至 ，并提问是否可以再推广。以此解决所有的连续乘积做分母的求和问题。

工具：计算器或计算机。

实际操作：

（1）使用计算器，输入1/（1*2*3）→结果加上1/（2*3*4）→继续结果加……

（2）使用人教社B版教材推荐的Scilab语言，可以编写程序如左下，试运行结果如右下所示：

信息技术帮助学生建立数学抽象能力

案例3 绝对值函数图像的特点

提出问题：函数fn（x）= x﹣1 + x-2 + x-3 +... x-n 的图像有什么样的特点？利用几何画板的作图功能，可以很方便地画出f1（x）、f2 （x）……的图像，并同时让学生观察这些函数图像的特点。学生通过观察，应该很容易总结出当n为奇数时，有唯一的最小值点，当n为偶数时，有一段横着的线段的图像特点。还可以同时让学生观察折线段的陡峭程度，并解释为什么会有这样的特点。通过这样一个过程，虽然学生笔头的练习少了，得到结论的过程变简单了，但因为后面所需要回答的问题，所以思考点和思考量并没有任何的减少。信息技术在这里帮助我们将课堂扩容。

工具：计算器或计算机。

实际操作：

案例4 不动点问题的抽象及推广

提出问题：讨论方程cosx=x的解，并给出计算器操作过程：输入初始值，比如6；计算cos6，得到结果1；计算cos（结果1），得到结果2；计算cos（结果2），得到结果3；……以此类推，经过若干步后，屏幕上出现一个恒定值：0.739085133。此时可以问学生：（1）这个恒定值是什么？（2）这个过程中，最开始给出的初始值可以换成别的数吗？自己试试并给出截屏图片。（3）你能自己设计另一个问题，并相应地得到一个求解过程吗？

学生在回答第三个问题时因为受题目余弦函数的影响，最可能尝试的是正弦函数和正切函数。而因为方程 sin=x是无解的，所以依据类似的过程得到的计算结果数列并不会稳定于某一值，也因此可以启发学生更多的思考。同理，方程tanx=x有无数个解，得到的是哪个解取决于给出的初始值，也因此可以得到更多的引申问题。在这样一个过程中，学生不仅可以学会一种解方程的计算办法，还可以锻炼将其抽象并推广的能力。信息技术过程的展示可以帮助学生跳出题目的具体背景，将之抽象为一类方法，得到数学的一般规律。

信息技术帮助学生进行数据分析

案例5 理解抛均匀硬币实验中的概率0.5

在概率概念的学习时，曾经有过概率 是否意味着两次抛掷中一定恰有一次正面向上的争论？并简单介绍过不能那样理解的理由。在学生在学完二项分布后，我们可以再次利用抛均匀硬币这个实验。提问学生：在100次掷硬币的试验中，恰有50次正面朝上的概率到底是多少呢？学生此时应该可以很快地给出表达式，但这个表达式代表的数值究竟是多少？比0.5大还是小？与0.5的接近程度如何？概率 到底能帮助我们做出什么样的推断呢？因为其中计算的烦琐，这些答案以前老师们都是不做要求的。现在借助于信息技术，我们不仅可以向学生展示8次投掷中恰有4次、50中恰有25次和100中恰有50次正面向上的概率，让学生发现当投掷次数越多时，恰有一半硬币正面向上的概率在逐渐降低的规律；还可以横向让学生感受一下当投掷50次时，正好有k次正面向上的概率到底会是一个怎样的规律。纵向和横向的双重比较可以使得学生更好地理解不确定中的规律性。

工具：计算器或计算机。

实际操作：

（1）利用计算器或计算机完成如下计算：

投掷一枚均匀硬币2n次，恰有n次正面向上的概率：

（2）利用计算器或计算机完成如下计算：

投掷一枚均匀硬币50次时，恰有k次正面向上的概率

案例6 对大量数据处理的帮助

在统计的学习中，经常会遇到大量数据处理的问题，比如说在线性回归分析部分。给出成对的原始数据后，常用的办法应该是先画出散点图，然后判断线性相关的程度，最后用求出相应的回归系数。当给出的数据对比较少时，学生还可以借助用纸笔进行操作（虽然计算已经很麻烦）；而一旦数据量略大，可能相应的计算就需要花掉很长时间。计算的繁复会将学生的注意力从问题的本质理解转移到不要算错上来，计算应该不是我们讲授这部分内容的主要目的。计算机或者计算器的最大优点就是能很快地、忠诚地完成大量的计算工作，借助于计算器或Excel表格，学生就不再会被烦琐的计算所迷惑和羁绊，可以从计算海洋中跳脱出来，有更多的时间去思考线性回归的优点和不足。

信息技术帮助学生形成猜想、探究结果

案例7 蒙特卡洛方法

课本上有一个例子是通过蒙特卡洛法，帮助学生合理设计计算机模拟实验去大致得到π的数值。在蒲丰的时代，他只能一次次地通过投针去实验。而身处信息时代，我们拥有了更多的选择。我们可以身体力行，也可以结合数学的想法和信息技术的共同优势，借助计算机模拟实验的方式去完成更多的猜想。比如在学习球的体积公式时，首先可以提问学生猜想球的体积的形式，比对圆的面积公式，学生应该不难猜到是V=k.r3的形式，甚至可以猜到k一定与π有关。然后启发学生利用球面方程，在计算机上用蒙特卡洛方法去模拟实验猜出k的表达式。

同样，对y=sinx（0≤x≤）与x轴围成的面积，以及椭圆的面积公式都可以用类似的方式去猜想和探究。

工具：计算机。

实际操作：

案例8 对x、sinx和tanx当x比较小时关系的探究

当三角函数的定义给出后，教师可以布置课下任务，鼓励学生去探究x、sinx和tanx之间有没有什么样的关系。教师可以列出-5度、-4度……0度、1度……5度的角，然后让学生看看x、sinx和tanx有什么关系？如果使用单位度的话，学生可能是看不出什么关系的。但如果学生能考虑到量纲的一致性，将角的单位由度化为弧度，那么x、sinx和tanx在x比较小时彼此接近而又大小分明的特点就会凸显出来。通过这样一次数学实验教学活动，学生不仅能对弧度制的必要性有更深刻的理解，想必也对1度的正弦值可以怎样近似得到有了更新的认识。

工具：计算器或计算机。

实际操作：

（1）在计算机或计算器上完成右表的计算；

（2）你的观察、发现和猜想；

（3）你能说明或证明您的发现和猜想的正确性吗？

信息技术帮助学生积累数学活动经验

案例9 对于图像的积累和处理

学生学习画出函数图像的方法是列表、描点、连线、得到大致图像。掌握了这种方法，可以保证在以后的函数学习中，至少能用最粗犷以及可以精益求精的方式得到大致图像。但计算是计算机的强项，所以我们还是扬长避短，更多地借助信息技术来积累处理图像的经验。以对勾函数为例，我们可以提问：（1）画出y=ax+ 的大致图像；（2）画出y=ax3+ 的大致图像；（3）画出y=ax5+ 的大致图像；（4）你能从中总结出什么规律吗？虽然在这里我们不要求以纸笔形式得到函数的大致图像，但在学生搬运和总结图像信息的过程中，对图像的处理能力并不会减弱。相反，因为图像的进一步精准，在此基础上得到的信息反而会更准确。同样，因为信息技术的介入使得画图进一步简便，相信部分学生在处理完这几类图形后，还会接着去思考那些特殊点的坐标到底是什么？还会去试着画y=x2+，y=1nx+之类的函数图像。

同样的，在三角函数的学习时，我们可以将傅里叶级数的想法融入其中，试着让学生去画出函数y=sinx+和y=sinx++的图像，并尝试画出函数 的图像，观察当项数增加时函数图像的变化。

案例10 对于文本信息的积累和处理

信息技术的更多应用，也使得部分学生有了一定的理解误差，认为数学学习不是那么必要，就像最近热炒的“数学踢出高考一样”。上上网，查查资料就能解决问题，那为什么还需要付出更多的努力呢？结合这样一种错误理解，我们曾经做了这样一个实验。在学习椭圆的概念时，提问学生：（1）椭圆是什么？（2）怎么去画出一个椭圆？学生可以自行分组查找资料回答问题。返回的答案中，关于第一个问题，有定点定长的定义，也有截圆锥所得曲线的定义，甚至还有椭圆的方程作为定义，以及地球运行轨道作为定义。这时学生自己就有了困惑，这些定义说的是同一件事吗？怎么说明这些曲线是同一类图形？关于第二个问题，有学生提到了用线绷直的方法，还有提到了用方程描点连线的方法，还有部分同学提到了“椭圆规”这样一种工具。同样的，这时学生们在相互质疑：“凭什么说你这时画出的就是椭圆？”“那我还可以拿着一个鸡蛋比着画呢？”所有这些问题的产生都是很自然的过程，而所有这些问题的解决也都离不开数学的深入学习。

以上所给出的10个案例，并不是中学数学和信息技术的所有结合点，可以说只是沧海一粟。但从这些案例，我们已经可以看到信息技术对数学教学和学习的影响。信息技术能够帮助所有人以更快的方式获得更多的资源，但资源的有效利用和转化归根结底还是离不开人这个最主要的因素。数学实验的方法获得的数据与真实数据之间有时也会有一定的误差，比如案例2中的求和以及案例7中的蒙特卡洛方法，所以实验并不能取代严格的推导和证明。如何利用现有的信息技术，帮助学生建构知识体系，提升数学素养，使得学生未来能自主产生更多更好的想法和技术，这也对教师提出了更高的要求。

参考文献

* 韦辉梁.数学实验的学习环境和教学方法[DB/OL].http：//math.cersp.com.

（作者单位：首都师范大学 北京大学附属中学）