一类实平面四次微分系统的奇点量和可积性①

强　华，　唐永鲁，　顾银鲁（银川能源学院基础部，宁夏 银川 750105）

一类实平面四次微分系统的奇点量和可积性①

强华，唐永鲁，顾银鲁
（银川能源学院基础部，宁夏 银川 750105）

研究了一类只含某些2，4次项的实平面四次微分系统，根据形式级数法并利用科学计算软件Mathematica得到该系统在原点的前3个奇点量的代数递推公式，借助不变代数曲线理论讨论了系统的可积性问题.

微分系统；奇点量；可积性条件

0　引言

平面多项式微分系统定性理论研究的两个重要问题是：焦点量的计算和中心条件判定.目前，热门的实多项式微分系统形式为

通常采用传统的形式级数法和后继函数法来计算微分系统的焦点量［1～2］，但由于推导过程复杂、计算量大而繁琐，因此对处理复杂的高次系统很难开展或已基本不可行.为使这类问题易于解决，刘一戎、李继彬等学者提出了一套微分系统定性理论，将具有细焦点和细鞍点的实平面微分自治系统通过适当的变换化为了复系统，这样焦点量与鞍点量的计算都统一为奇点量的计算.进而系统的可积性问题亦可迎刃而解.

1　系统的奇点量

本文拟研究一类缺少3次项，只含某些2、4次项的实平面四次微分系统：

其中

系统（1）按传统方法计算奇点量，分析可积性条件较为复杂.但此系统可经过复系数线性变换：

即

化为其对应的复伴随系统：

引进广义相似旋转变换

按照在（7）下旋转指数的不同，系统（5）的系数可分为以下2类：

分别在R1和R-1中任取k，l个元素（可重复取）相乘，形成一个单项式g，g的全体集合记作G，即

如果k=l，且ζ=（k，l）是其一个基本正规解，那么称g是一个基本旋转不变量［3］.

定理1.1系统（5）恰有下表中的16个基本旋转不变量.

表1　系统（5）基本旋转不变量

证明： 解方程k=l，得其基本正规解为ζ= （1，1），即在R-1和R1中各任取一个元素，然后利用（9）式，以上16个基本旋转不变量便可被构造出来.

定理1.3对系统（5），∀（α，β），当α+β≥2 且α≠β时，cαβ由递推公式

确定.且对∀（k，j），当k＜0或j＜0时，已置akj= bkj=ckJ=0.

利用科学计算软件Mathematica可求得

定理1.4系统（5）在原点的前3个奇点量为：

在上述μm的表达式中已置

2　系统的可积性

定理2.1当且仅当以下4组条件之一成立时，系统（5）原点的前3个奇点量均为零.

证明：充分性不证自明，现只需考察必要性，由1=2=3=0，即

可知条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ之一成立.

定理2.2当定理2.1中的条件Ⅰ成立时，系统（5）有积分因子

定理2.3当定理2.1中的条件Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ成立时，系统（5）在每个条件下原点的所有奇点量全部为零.

定理2.2系统（5）原点的奇点量全部为零的充要条件是其前3个奇点量均为零，即定理2.1 的4组条件之一成立，这4组条件便为系统（5）原点的中心条件.

3　结语

微分方程定性理论对动力系统中心焦点判定和系统的可积性问题等研究具有强大的理论意义.

本文运用相关知识构造了一类特殊的实平面四次微分系统，通过研究其复伴随系统的奇点量及可积性条件，等价地完成了实系统中心焦点的判定问题.

［1］ 叶彦谦.多项式微分系统定性理论［M］.上海：上海科技出版社，1995.

［2］ 张芷芬，丁同仁等.微分方程定性理论［M］.北京：科学出版社，1985.

［3］刘一戎，李继彬.论复自治微分方程的奇点量［J］.中国科学（A缉），1989，32（3）：245-255.

Singular Point Quantities and Integrable properties of A Class of Real Planar Quartic Differential Systems

QIANG Hua， TANG Yong-lu， GU Yin-lu
（Department Of Basic，Yinchuan Energy Institute，Yinchuan 750105，China）

In this paper，we study a class of real planar quartic differential systems which contains only some item 2，4 times.according to formal series method，And using scientific computing software Mathematica，The algebraic recursion formula of the first 3 singular points for this system at the origin is obtained.With the help of invariant algebraic curves theory the integrability problem for the system is discussed.

Differential System；Singular Point Quantities；Integrability Conditions.

O193文献识别码：A

1008-1402（2015）06-0000-03

2015-07-21

银川能源学院科研项目资助（2014-KY-Y-18）.

强华（1982-），男，宁夏中宁人，硕士研究生，银川能源学院教师，主要从事微分方程定性理论研究.