不定方程x3－1=PQy2的整数解

李润琪(德宏师范高等专科学校数学系，云南芒市678400)

不定方程x3－1=PQy2的整数解

李润琪
(德宏师范高等专科学校数学系，云南芒市678400)

主要利用同余式、二次剩余等证明了P≡19(mod 24)为奇素数，Q=97 241 337时，不定方程x3－1=PQy2仅有整数解(x，y)=(1，0).

不定方程;整数解;同余;二次剩余

不定方程

是一类重要的三次方程，其整数解已有不少人研究过.当D＞2，D无平方因子且不含6k+1形素因子时，文献［1，2］已经解决;当D含6k+1形素因子时，目前已有许多相关结论，但是D含两个或两个以上6k+1形素因子时，方程(1)的求解较为困难，目前结论还比较少.文献［3］给出D=pq，p≡1(mod 24)为奇素数，q=12s2+1为奇素数时方程(1)的解的情况;文献［4］给出D=pq，p=73，q≡1，19(mod 24)为奇素数，时方程(1)的解的情况;文献［5］给出D=pq，q=13，p≡1(mod 12)为奇素数时方程(1)的解的情况;文献［6］给出D=pq，p=7，q=13，19，61时方程(1)的解的情况;文献［7］给出D=pq，q=7，为素数时方程(1)的解的情况;文献［7］给出D=1267=7×181时方程(1)的解的情况.此处主要研究P≡19(mod 24)为奇素数时方程(1)的解的情况.

引理1［8］设p≡19(mod 24)，q≡1(mod 24)，p，q为奇素数，则丢番图方程组x－1=3pqu2，x2+x+1=3v2，gcd(u，v)=1只有平凡解(x，u，v)=(1，0，±1).

定理1设P≡19(mod 24)为奇素数，Q=97 241 337，勒让德符号值，则不定方程

仅有平凡解(x，y)=(1，0).

证明因为x3－1=(x－1)(x2+x+1)，而gcd(x－1，x2+x+1)=gcd(x－1，(x－1)2+3(x－1)+3)=gcd(x－1，3)=1或3，故方程(2)给出以下8种可能的分解:

以下讨论这8种情况所给的方程(2)的整数解.

情形Ⅰ解x2+x+1=v2，得x=0，－1，均不适合x－1=PQu2，故方程(2)在该情形无整数解.

情形Ⅱ将x－1=u2代入x2+x+1=PQv2得(2u2+3)2+3=4PQy2，则有

当Q=97时，有(2u2+3)2≡－3≡262(mod 97)，得u2≡34，60(mod 97)，但模97的勒让德符号值为故式(3)不成立，因此此时方程(2)无解.

当Q=241时，有(2u2+3)2≡－3≡312(mod 241)，得u2≡17，227(mod 241)，但模241的勒让德符号值为，故式(3)不成立，因此此时方程(2)无解.

当Q=337时，有(2u2+3)2≡－3≡802(mod 337)，得u2≡130，210(mod 337)，但模337的勒让德符号值为故式(3)不成立，因此此时方程(2)无解.

综上，有方程(2)在该情形无整数解.

情形Ⅲ因为P≡19(mod 24)，有x=Pu2+1≡1，4，5(mod 8)，则x2+x+1≡3，5，7(mod 8).又Q=97，241，337，则有Qv2≡1(mod 8)，矛盾.故方程(2)在该情形无整数解.

情形Ⅳ将x－1=Qu2代入x2+x+1=Pv2，得(2Qu2+3)2+3=4Pv2，则有3≡Pv2(mod Q).又Q=97，241， 337，则勒让德符号值而勒让德符号值，矛盾.故方程(2)在该情形无整数解.

情形Ⅴ因为P≡19(mod 24)，Q=97，241，337≡1(mod 24)，故由引理1知方程(2)在该情形仅有平凡解(x，y)=(1，0).

情形Ⅵ因为x=3u2+1≡1，4，5(mod 8)，则x2+x+1≡3，5，7(mod 8).又P≡19(mod 24)，Q=97，241，337，则PQ≡3(mod 8)，3PQv2≡1(mod 8)，矛盾.故方程(2)在该情形无整数解.

情形Ⅶ将x－1=3Pu2代入x2+x+1=3Qv2，得(6Pu2+3)2+3=12Qv2，则有1≡Qv2(mod P).又勒让德符号值，矛盾.故方程(2)在该情形无整数解.

情形Ⅷ将x－1=3Qu2代入x2+x+1=3Pv2，得(6Qu2+3)2+3=12Pv2，则有1≡Pv2(mod Q).又勒让德符号值，矛盾，故方程(2)在该情形无整数解.

综上，有不定方程(2)在题设条件下仅有平凡解(x，y)=(1，0).

［1］柯召，孙琦.关于丢番图方程x3±1=3Dy2［J］.四川大学学报，1981，18(2):1-5

［2］柯召，孙琦.关于丢番图方程x3±1=Dy2［J］.中国科学，1981，24(12):1453-1457

［3］管训贵，杜先存.关于Diophantine方程x3±1=pqy2［J］.安徽大学学报:自然科学版，2014，38(1):13-19

［4］杜先存，管训贵，杨慧章.关于不定方程x3－1=73qy2的整数解［J］.西南师范大学学报:自然科学版，2014，39(6):18-20

［5］管训贵，杜先存.关于丢番图方程x3－1=13py2的整数解［J］.沈阳大学学报:自然科学版，2014，25(6):511-513

［6］管训贵.关于丢番图方程x3±1=7qy2的整数解［J］.兰州文理学院学报:自然科学版，2014，28(2):20-24

［7］杜先存，万飞，杨慧章.关于丢番图方程x3±1=1 267y2的整数解［J］.数学的实践与认识，2013，43(15):288-292

［8］杜先存，管训贵，万飞.关于Diophantine方程组x－1=3pqu2，x2+x+1=3v2的整数解［J］.重庆师范大学学报:自然科学版，2015，32(1):102-105

On Integer Solution to the Indefinite Equation x3－1=PQy2

LIRun-qi
(Department of Mathematics，Dehong Teachers College，Mangshi 678400，China)

Using congruence and quadratic residue，this paper proves that P≡19(mod 24)is odd.When Q=97 241 337 and，the indefinite equation x3－1=PQy2only has integer solution.

indefinite equation;integer solution;congruence;quadratic remainder

O156.2

A

1672－058X(2015)09－0045－03

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.012

2015－01－15;

2015－02－20.

云南省教育厅科学研究项目(2014Y462).

李润琪(1965-)，男，云南腾冲人，讲师，从事初等数论及数学教育研究.