基于地基反力与沉降非线性关系的地基梁研究

陈小亮，陈世嵬，黄志敏

（重庆科技学院 数 理学院，重庆 401331）

地基梁在土建、水力、桥梁、生物力学等工程领域有广泛的应用，地基梁的力学分析多采用Winkler地基梁模型，即假定地基和地基梁之间的作用力与梁的挠度成正比例关系。文献[1]提出了无拉力Winkler弹性地基深浅梁的三角级数统一解法；文献[2]根据Winkler弹性地基梁的计算原理和方法，编制了弹性杆系有限元计算程序，获得了支护桩桩身位移和弯矩随开挖过程的分布变化规律；文献[3]考虑了地基土的横向剪切作用，采用两个参数来描述弹性地基对中厚板的抗力与中厚板挠度的关系，得到了弹性地基上自由矩形中厚板问题的一般内力表达式；文献[4]采用空间杆系有限元方法建立线弹性Winkler地基上框架梁柱的有限元计算模型，对预应力锚杆作用下的框架梁柱进行了内力求解；文献[5]用有限差分法计算分析了梁截面参数、弹性地基参数的变化对弹性地基梁弯曲变形的影响；文献[6]采用Winkler弹性地基梁理论确定了弹性地基梁的挠度方程解析通解，得到了解析型弹性地基欧拉梁单元及铁摩辛柯梁单元刚度矩阵。本文从实测的P-S曲线（基地压力与沉降的关系）出发，将P-S曲线拟合成三次多项式函数，推导出非线性弹性地基梁的基本理论方程式，并用有限差分法解出它的数值解。

1 非线性地基梁模型

如图1所示，根据平衡方程有：

图1 地基梁微元

根据梁的小变形弯曲理论有：

式（1）中R为地基对梁的分布反力，w为梁的挠度（向下为正）。 若梁段内没有分布外力（q=0），则由式（1）-（3）可得：

2 非线性地基反力的实验数据拟合

利用文献[7]的实验数据，如图2所示，利用Origin软件可作出非线性地基反力R随梁挠度w变化的三次多项式拟合关系：

2.07343×1012N/m4。根据Origin软件，三次多项式拟合和经典Winkler地基梁正比例关系拟合的相关系数 （Adj.R-Square）分别为0.99918和0.89918，可见三次多项式的拟合效果较好。

图2 地基反力-挠度拟合

3 有限差分法和算例

图3 一端固定的地基梁

如图3所示，考虑一端固定的地基梁在自由端受集中力F作用，长度L=20m，集中力F=105N，抗弯刚度EI=2X109Pa·m4。 将梁分成n等份，将非线性地基反力R随梁挠度w变化的三次多项式拟合关系式（5）代入式（4）中可得微分方程（4）的中心差分格式为：

固定端边界条件的中心差分格式为：

自由端边界条件：弯矩M(x=L)=0、剪力Q(x=L)=F的中心差分格式为：

方程式（4）的有限差分法求解方程组为：

利用牛顿迭代法[8-9]和MATLAB编程数值求解上面的非线性代数方程组，可以得到非线性和线性弹性地基梁的挠度、转角、剪力和弯矩，分别如图4、图5、图6、图7所示。其中对线性弹性地基梁，k1取图2中线性拟合的比例系数，k2、k3均为零。

4 结论

在图4中，经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的挠度约在x=17.94 m处达到最大相差1.42×10-4m，相对误差为12%。在图5中，经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的转角约在x=12.94 m处达到最大相差3.45×10-5rad，相对误差为30%。在图6中，经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的剪力约在x=18.7 m处达到最大相差8886N，相对误差为22%。在图7中，经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的弯矩约在x=16.48 m处达到最大相差19741N·m，相对误差为17%。

图4 地基梁的挠度曲线

经典线弹性Winkler地基梁假定地基与地基梁之间的作用力与梁的挠度成正比例关系，此时挠曲线方程有解析解，方便进行理论分析研究。但真实地基与地基梁之间的作用力与梁的挠度可能成复杂的非线性关系，此时基于线弹性地基梁的分析误差较大，地基梁挠度、转角、剪力和弯矩的相对误差都可能达到10%~30%。对于非线性弹性地基梁，将实验测量的基地压力与沉降关系曲线拟合成非线性函数关系，再用有限差分法解出数值解是一种可行的简便方法，此方法还可以推广应用于非均质地基的情况。

图5 地基梁的转角曲线

图6 地基梁内的剪力

图7 地基梁内的弯矩

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