多样化的归一

俞宏毓 王伟杰

一、引言

“多样化”是基础教育新课程改革提倡的理念之一，中小学教学顺应新课程改革理念，积极推行多样化教学。但多样化在实际教学中究竟该如何实施，该实施到什么程度，多样化最终的走向是什么？进入中小学数学课堂了解发现，一些所谓的多样化教学是盲目、流于形式的，是为了多样而多样。这样的多样化教学不仅没有起到开拓学生视野、发散学生思维的效果，反而干扰了学生对基本方法的理解和把握。[1]著名教育家顾泠沅指出，应该慎重对待多样化。多样化是为了促进理解，适时的多样化应该是在掌握基本方法和原理之后的多样，可以鼓励不同的思路与方法，而且多样化最后应该在原理上归一，而不是盲目追求形式的多样。[2]

笔者以小学数学“比赛场次”为教学主题，依据顾泠沅教授的这一理念，于2013年10月在杭州市瓶窑镇长命中心小学进行了教学实验。本次实验对多样化教学进行了改进，最后成功达到了多种方法在原理上的归一。

二、研究概况与方法

（一）参与人员与研究对象

杭州市瓶窑镇长命中心小学是一所六年制公办小学，有近90年的历史。学校现在有18个班级，教师50余名，班级规模一般在40人左右。2013年10月中旬开始，笔者与绍兴文理学院数学师范专业实习生LKL在长命中心小学进行了持续两周的教学实验活动。本次教学活动由LKL执教，该校的高级教师WCL与笔者作为两个不同层面的教师发展指导者[3]对其教学进行设计、指导与改进。执教的班级是该小学六年级的两个平行班，每个班36人，两个班学生基础相当。

（二） 研究材料

本次实验执教的内容是北师大版教材六年级上册“数学与体育”专题的“比赛场次”。“数学与体育”专题主要学习用数学方法解决各种与体育运动有关的问题，包括“比赛场次”“起跑线”和“营养配餐”三个内容。“比赛场次”主要学习用各种方法解决单循环赛问题。

（三）研究思路与过程

教学实验采用的是顾泠沅教授的行动教育模式。行动教育模式要求进行“三个关注、两个反思”的过程，本次实验简化了该模式，只进行了两次执教。

第一次课是执教教师自己设计的原生态课。“比赛场次”的教学，教材的安排是分别由列表法和画图法探究出单循环比赛场次的计算规律（如图1）。第一次课的教学，执教教师重在方法的多样化，而且将列表、画图和列式三种不同的方法割裂开来教学，列式时又过分强调公式的简化形式“比赛场次=参赛队数×（参赛队数-1）÷2”。第一次课后的指导，两位教师发展指导者指出，教学必须强调三种方法的内在联系，由列表和画图可以推导出算式，而且列表和画图只是为了帮助理解，仅限于人数较少的情况，复杂问题的解决最终要归结到公式运算。对于公式的简便形式，只需点到即可。执教教师根据指导者的思路进行第二次备课，向指导者汇报教法，指导者根据汇报进一步对其指导，然后是第二次上课。两次课都进行了前后测，测试题由两位教师发展指导者共同设计（附录略），在测试前选学生进行试做。每次课结束后根据后测结果对学生进行访谈。对两次课进行了录像，指导和访谈过程都做了记录。

（1）

（2）

图1   “比赛场次”教材剪辑

对于收集到的数据，课堂教学运用录像分析法进行了分析，前后测试卷采用定量和定质的分析结合的方法进行了分析，对访谈记录做了质的分析。数据统计工具用的是Excel2007。

三、研究结果与分析

（一）关于“比赛场次”问题的学情分析

关于“比赛场次”问题的解决，教材分别用列表法和画图法来探究得出计算规律。学生解决这类问题的学情如何，学生解决这类问题有没有困难、倾向于用什么方法解决？前测设计了一个简单的循环赛问题、联络问题和淘汰赛问题。这三类问题的正确率，两个班总的结果如图2所示。可以看出，循环赛问题对于学生来说相对容易，在执教这节课之前就有94.44%的学生会做简单的循环赛问题。

学生又是用什么方法来解决这些问题的呢？从图3可以看出，在执教这节课之前学生倾向于用直观的画图法解决，也有部分学生会列式解决，用列表法的学生非常少，三种类型总共只有一个学生用了列表法。从课堂教学来看，学生比较排斥用列表法。完全不会指的是该题学生根本不知道用什么方法解决、完全空白，其中用了画图法、列表法或列式法的也有出错的。

图2   “比赛场次”有关问题前测正确率

图3   “比赛场次”有关问题解决方法前测结果

（二）两次课堂教学比较分析

教师LKL原生态的教学情况如何，有否考虑了学生的学情？经两位教师发展指导者改进后，课堂教学情况如何，较之原生态的教学改进在哪些方面？对两次课的主要教学环节用时进行比较，并分析比较了部分具体的教学行为差异。

1.课堂主要教学环节用时比较

除去课堂小结环节，两次课的主要教学环节用时如表1所示，两次课教学环节基本一致，改进后的第二次课少了将循环赛问题延伸到n这一环节。从各环节教学用时来看，第一次课在例题教学上耗时较多，例题1和例题2用时分别占课堂时间的29.40%和21.75%，用于处理公式简化这个形式化问题的时间比第二次课多用了1′8″。两次课都注重新课程理念的落实，都强调了多样化。第二次课更强调原理探究，用于原理探究的时间占了课堂时间的34.97%。从后测的成绩来看，学生如果理解了原理，即便老师没有太多的示范，也不影响学生运用原理解决问题。

表1    两次课主要教学环节用时情况对比 教学环节 第一次课

（总用时：40′5″） 第二次课

（总用时：41′28″）

用时 百分比 用时 百分比

1 问题引入 1′51″ 4.62% 57″ 2.29%

2 多样化 4′27″ 11.10% 5′42″ 13.75%

3 例题1（循环赛问题） 11′47″ 29.40% 8′14″ 19.86%

4 原理探究 6′4″ 15.14% 14′30″ 34.97%

5 公式简化 4′30″ 11.23% 3′22″ 8.12%

6 循环赛问题延伸到n 49″ 2.04%

7 练习 1′1″ 2.54% 2′50″ 6.83%

8 例题2 （联络问题） 8′43″ 21.75% 3′35″ 8.64%

2.具体教学行为比较

具体教学行为主要从本节课的灵魂环节“原理探究”来比较。从用时来看，原理探究第一次课只用了6′4″的时间，改进后的第二次课教师在原理探究上耗时比第一次课多出1倍多。两次课具体的教学行为也发生了根本性的变化。简单的比赛场次问题，分别可以用画图法、列表法和公式计算三种方法解决，而数字较大的比赛场次问题用画图法和列表法则非常麻烦或者甚至没法解决。指导者的设计思路，画图法和列表法只是得出和说明计算公式的辅助工具，学生理解了公式的原理，则可以解决更复杂的比赛场次问题。但第一次课，教师LKL一味强调解决问题方法的多样化，把三种方法完全割裂开来，并没有用画图和列表来帮助学生理解公式。经指导改进后，教师LKL充分利用了学生喜欢用画图法解决的现实，用画图解释公式的得出。如下为第二次课原理探究的部分片段。

师：当比赛人数是3名的时候，各点之间的连线数，应该是多少？

生：3条，1+2共3场。

师：那按我刚才的格式，3怎么来？（手指画图法）看这里，这个小圆点对应几条？

生：2条。

师：再加上这边1条。

生：1+2=3。

师：（板书：3名  1+2）请坐。当4名同学的时候，各点之间的连线数，应该怎么来？

生：1+2+3=6。

师：（板书：4名   1+2+3=6）那么5的时候，两点之间的连线数应该是多少？

生：10。

师：10怎么来的？

生：1+2+3+4=10。

师：（板书：5名：1+2+3+4=10）我们来看一下，你观察一下，这一列各点之间的连线数与比赛人数有什么关系吗？从1开始加，加到最后一个数怎么样？你发现了什么？

生：参加人数减去1就是一直加到那个数为止。

从这个教学片段可以看出，第二次课教师LKL在原理探究上注重用图示来解释公式，逐步引导学生发现规律从而得出公式。这种数与形相结合的方法使学生对公式理解更深刻，遇到更为复杂的问题也可以灵活解决。为帮助学生进一步理解该公式，教师进一步展示了列表法并同样推出计算公式。

（三）两次教学效果比较分析

两次教学的效果主要从两次后测的情况来看，并结合前测和访谈的结果。三类问题后测的结果如下。可以看出，两次课的教学效果截然不同。

1.循环赛问题

图5   循环赛问题后测结果

关于循环赛问题，后测分别设置了简单的循环赛问题和人数为n的循环赛问题，两次课后测的结果如图5所示。第一次课，教师在解决简单循环赛例题上耗时较多，但是简单的循环赛问题正确率没有第二次课高。第一次课，教师专门在课堂上处理了人数为n的循环赛问题，因此人数为n的循环赛问题第一次课正确率较高。在两个班分别选取10个做对人数为n的循环赛问题的学生进行访谈发现，第一次课只有两个学生能正确理解公式，其余8人只是因为老师上课强调过而记住了该公式，而第二次课有5个学生能正确理解该公式。

2.联络问题

图6   联络问题后测结果

联络问题，从课堂教学用时来看，第一次课用了比第二次课多出1倍多的时间来处理。后测结果如图6所示，简单联络问题两次课都有86.11%的学生做对，比前测的47.22%高出了38.89%。两次课都没有涉及人数为n的联络问题，但第二次课有25%的学生做对，而第一次课没有人做对。

3.淘汰赛问题

图7   淘汰赛问题后测结果

淘汰赛问题本节课没有涉及，从前后测结果来看，本节课的教学对该问题的解决有一定的影响。前测两个班总的正确率为68.06%，两次课的后测正确率都有所提高，第二次课比第一次课高5.55%。

四、结论与展望

新课程改革虽然历经十余年，但很多中小学教师对新课程改革提倡的一些理念仍然认识不够，实施中尚存在很多问题。本次教学实验，是研究者对多样化教学的一次改进实践。经研究者改进后，教师的教学真正实现了利用多样化来促进学生对算理的理解，而且多样化的方法最后殊途同归在原理上达成一致，取得了和改进前截然不同的教学效果。

顾泠沅教授在研究教师发展指导者的工作时曾着重强调“前端分析”的重要性，[4]也就是在设计教学时首先要分析教材、研究学生的学情。本次实验，研究者首先研究了教材的知识体系，然后通过对学生测试了解学情。关于比赛场次类问题，六年级学生较容易解决的是循环赛问题，而且对这类问题有80%左右的学生习惯用画图法解释，少部分学生会用公式计算，而不倾向列表解决。因此研究者依据这一学情，在指导教学时强调，教学中用画图法解释算理，列表法仅作为多样化方法之一展示给学生，以促进学生对算理的进一步理解。

本实验仅是研究多样化教学的一个案例，中小学数学课堂教学还有很多问题值得广大教育研究者和一线教师去深入研究，尤其是新课程改革提倡的一些新理念和观点究竟该如何落实到课堂实际中去的问题。

参考文献：

[1]俞宏毓，顾泠沅.教师发展指导者工作的研究报告——义乌实验案例分析[J].教师教育研究，2013（1）.

[2]顾非石，俞宏毓，顾泠沅.探究学习的设计与改进——关于一个课例的述评[J].课程·教材·教法，2012（5）.

[3]俞宏毓，潘勇.教师发展指导者工作的研究——以“异分母分数的加减法”教学指导为例[J].教育学术月刊，2013（7）.

[4]顾泠沅，朱连云.教师发展指导者工作的预研究报告[J].全球教育展望，2012（8）.

[5]俞宏毓. 教师发展指导者工作的案例研究[D].上海：华东师范大学，2013（6）.

[6]俞宏毓，顾非石. 关于“扇形的面积”的教学指导研究报告[J].数学教育学报，2013（2）.

[7]俞宏毓. “长方形、正方形的面积与周长”教学指导研究报告.数学教育学报，2014（6）.

（浙江省绍兴文理学院数理信息学院  312000

浙江省杭州西兴实验小学   310051）