“图形的相似”测试卷

陈正亮

一、 选择题

1. 在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5 m的测杆影长为2.5 m，那么影长为30 m的旗杆的高是（ ）.

A. 20 m B. 16 m C. 18 m D. 15 m

2. 如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN∶

S四边形DBCM等于（ ）.

A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶15 D. 1∶16

3. 如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是（ ）.

A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥

4. 如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）.

A. 1∶3 B. 2∶3 C. ∶2 D. ∶3

5. 一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高长22.5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）.

A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张

6. 如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）.

A. - a B. - （a+1） C. - （a-1） D. - （a+3）

二、 填空题

7. 已知点C为线段AB的黄金分割点且AB=2，则AC≈________.（精确到0.1）

8. 在？荀ABCD中，点E在DC上，若DE∶EC=1∶2，则BF∶BE=________.

9. 如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板按如图所示的位置放置，则矩形ABCD的周长为________.

10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG= S四边形EBCG， =________.

11. 如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM.若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为_______________.

12. 如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（-1，1），点C的坐标为（-4，2），则这两个正方形的位似中心的坐标是_________________.

三、 解答题

13. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H.

（1） 试说明：△ABE∽△ADF；

（2） 若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形.

14. 如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6 ，求：点B到直线AC的距离.

15. 如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且∠ADE=∠C.

（1） 试说明：△ABD∽△DCE；

（2） 如果BD=x，AE=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的范围；

（3） 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由.

16. 如图，在矩形OABC中，OA=1，OC=2，反比例函数y= 的图像交边AB，BC于D，E两点，∠DOE=45°.求k的值.

参考答案

1. C 提示：物高∶影长=1.5∶2.5=3∶5，当影长为30 m时，旗杆高18 m.

2. C 提示：∵DE是中位线，M是DE的中点，∴△NDM∽△NBC，相似比为1∶4，∴面积比1∶16.故选C.

3. B 提示：分别计算每个三角形三边的长度比为1∶ ∶ 即与①三角形相似.

4. A 提示：△AEF≌△CDE≌BFD，△ABC∽△EFD.又∵∠B=60°，∴FB=2BD，FD= BD，∴AB=3BD，∴面积比为1∶3.

5. C 提示：设n张矩形纸条，由正方形纸条可以得 = ，n=6.

6. D 提示：作BE⊥x轴于E，B′D⊥x轴于D，则△EBC∽△DB′C， 由位似比等于2可得B′C∶BC=DC∶EC=2，B′的横坐标为a，则DC=a+1，EC= （a+1），点B的横坐标为-1- （a+1）=- （a+3），故选D.

7. 1.2或0.8

8. 3∶5 提示：∵DE∶EC=1∶2，AB∥CE，∴EC∶CD=EC∶AB=2∶3，则BF∶BE=3∶5.

9. 8 提示：显然△ABE≌△ECF∽△FDG，相似比2∶2∶1，设DG=a，DF=b，则FC=BE=2a，EC=AB=2b，∵AB=DC，∴2b=b+2a，即b=2a，在△GDF中，由勾股定理得a= ，则矩形周长为8 .

10. 1∶2 提示：S△AEG∶S四边形EBCG=1∶3，可得S△AEG∶S△ABC=1∶4，又∵EF∥BD，∴△AEG∽△ABC，相似比为1∶2，即EG是中位线，则F为中点，又∵∠ACD=90°，∴CF∶AD=1∶2.

11. y= x 提示：过点O分别作OP⊥BC于P，OQ⊥CD于Q，易证△OMP∽△ONQ，相似比为3∶2，即x∶y=3∶2，得y= x.

12. - ， 和（2，0） 提示：∵正方形ABCD与正方形OEFG是位似图形，边长分别为2和1，∴位似比为2∶1.若位似图形在位似中心两侧，不妨设点P1，作PH⊥x轴于点H，则PH∥CD∥EO，∴△CDP∽△EOP，∵ 点C坐标为（-4，2），∴点P坐标为- ， ；若位似图形在位似中心同侧，则△PFG∽△PCD，∴点P2坐标为（2，0）.

13. （1） 在？荀ABCD中，∠ABE=∠ADF，∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE∽△ADF；

（2） ∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，又∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG=∠DAH，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴？荀ABCD是菱形.

14. ∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠ADB=90°.又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE，∴BE∶BC=BD∶BA，又∵∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA.∵S△ABC=27，S△BDE=3，∴面积比为9∶1，相似比为3∶1.又∵DE=6 ，∴AC=18 ，∴点B到直线AC的距离为 .

15. （1） 略；

（2） ∵AB=AC=8，BC=10，BD=x，AE=y，∴DC=10-x，EC=8-y，∴8∶x=（10-x）∶（8-y），∴y= x2- x+8（0

（3） 当D为中点时，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠CED=∠ADB=90°，即△ADE是直角三角形.

16. ∵点D和点E在反比例函数图像上，∴k=OA·AD=OC·CE，∴AD=2EC.在OA上截取AM=AD=2x，在OC上截取CN=EC=x，则OM=1-2x，ON=2-x，显然△ADM和△CEN是等腰直角三角形，DM=2 x，EN= x，∠DMO=∠ENO=135°，∠DOE=45°，设∠DOM=α，∠EON=45°-α，∴∠OEN=α=∠DOM，∴△MOD∽△NEO，∴DM·EN=2 x· x=（2-x）（1-2x），∴2x2+5x-2=0，∴x= （舍负），即：k=2x= .

（作者单位：江苏省金坛华罗庚实验学校）