相似三角形的基本模型

葛浩亮

一、 剖析中考题

（2015·江苏常州）如图1是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300 m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400 m到达梅花阁C，则点C的坐标是________.

【思路分析】“盆景园B向左转90°后直行400 m到达梅花阁C”，由这个条件可得：∠CBO=90°，于是，我们应该要想到构造“K”字型相似.过点B作BE⊥x轴，交x轴于E，过点C作CF∥x轴，交EB于点F，把“K”字型构造出来，可得出△CFB∽△BEO，利用相似的比例式可得答案.

解：过点B作BE⊥x轴，交x轴于E，过点C作CF∥x轴，交EB延长线于点F.

∵A（400，300），

∴OA=500（m），∴OB=800（m）.

∵BE⊥x轴，∴∠BEO=90°，

∴∠BEO=∠ADO，

∵∠BOE=∠AOD，∴△BOE∽△AOD，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴BE=480（m），OE=640（m）.

∵∠BEO=90°，∴∠BOE+∠OBE=90°.

∵∠CBO=90°，∴∠OBE+∠CBF=90°，

∴∠BOE=∠CBF.

∵CF∥x轴，∴∠BEO+∠CFB=180°，

∴∠CFB=90°，∴∠CFB=∠BEO，

∴△CFB∽△BEO，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴CF=240（m），BF=320（m），

∴C（400，800）.

二、 模型再现

“K”字型相似基本图形1

已知：B，C，E三点共线，∠B=∠ACD=∠E=90°.试说明：△ABC∽△CED.

【思路分析】核心条件1：B，C，E三点共线；

核心条件2：∠B=∠ACD=∠E=90°.

基本图形1是“K”字型相似问题中的一种特殊模型，解决此类问题的关键是发现“三点一线”（B，C，D三点共线），“三角相等”（∠B=∠ACD=∠E=90°）.

“K”字型相似基本图形2

已知：B，D，C三点共线，∠B=∠EDF=∠C=α.试说明：△BDE∽△CFD.

【思路分析】核心条件1：B，D，C 三点共线；

核心条件2：∠B=∠EDF=∠C=α.

基本图形2是“K”字型相似问题的一般模型，同样是要发现“三点一线”（B，C，D三点共线），“三角相等”（∠B=∠EDF=∠C=α）.

我们通常也将“K”字型称为一线三等角型或三角一线型.

三、 以三角形为载体

（2008·福建福州）如图4，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）.作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

【思路分析】核心条件1：动点P沿AB匀速运动；

核心条件2：∠A=∠B=∠RPQ=60°.

由△APR∽△PRQ可得∠RPQ=∠A=60°，由QR∥BA可得△CRQ是等边三角形及其各线段的长度为（6-2t） cm，由∠A=∠B=∠RPQ=60°可得△APR∽△BQP，利用相似的比例式可解得t=1.2.

四、 以平行线为载体

已知：直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，线段AB的两端点分别在直线l1、l3上并与l2相交于点E，若以线段AB为一边作正方形ABCD，C、D两点恰好分别在直线l4、l2上，则sinα=________.

【思路分析】核心条件：由∠ADC=90°构造“K”字型.

过点D作DF⊥l1交于点F，延长FD交l4于点G，可证得△ADF≌△DGC，可得AF=DG=4，于是AD=2 ，所以sinα= .

五、 以矩形为载体

（2012·天津节选）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP.设BP=t.

（Ⅱ） 如图7，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）.

【思路分析】（Ⅱ） 核心条件1：

P为BC边上的动点，B′落在直线PC′上；

核心条件2：

∠OBP=∠OPQ=∠PCQ=90°.

可得△OBP∽△PCQ，利用相似的比例式可得：m= t2- t+6（0

（Ⅲ） 先得结论：PC′=PC=OC′=11-t，

核心条件1：B′落在直线PC′上，C′落在直线OA上；

核心条件2：∠PC′Q=∠C′AQ=90°.

作PE⊥x轴交x轴与点E，可得△PEC′∽△C′AQ，利用相似的比例式可得m=- t2+ t，由（Ⅱ）可得方程：- t2+ t= t2- t+6，解之得：x= ，

所以点P ，6.

通过以上的探索发现，“K”字型的相似在其基本模型中，可以加入不同的载体，比如三角形、平行线、矩形和动态几何等，可无论如何变化，其本质都离不开“三点一线，三角相等”.

（作者单位：江苏省常州市金坛区薛埠中学）