平移

司友军

二次函数图像与图形变换关系是初中阶段二次函数学习的重点内容，也是难点内容.学习研究二次函数离不开对其图像的研究，我们采用从特殊到一般的探究方法，用描点法画出二次函数y=ax2的图像，分析得出所具有的性质，再探究y=ax2+k图像、y=a（x+h）2图像，直到y=a（x+h）2+k图像，理解它们的相互关系，最终得到二次函数y=a（x+h）2+k图像和性质.这里我们探求的法宝就是平移.

一、 解读

（一） 提出问题：（随机举例）

问题1：用描点法画出二次函数y=2x2、y=2x2+1、y=2（x-1）2的图像.

解：列表：

问题2：当自变量x取同一数值时，相应函数的函数值y1与y，y2与y之间有什么关系？反映在图像上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

解：反映在图像上，函数y=2x2+1的图像上的点可以看成是将函数y=2x2的图像上的对应点向上平移一个单位得到的；函数y=2（x-1）2的图像上的点可以看作是函数y=2x2的图像上的点向右平移1个单位得到的.

问题3：二次函数y=2x2、y1=2x2+1、y2=2（x-1）2的图像、开口方向、开口大小是否相同？

解：二次函数y1=2x2+1与y2=2（x-1）2的图像都可以看成是y=2x2图像平移得到的，因此它们的开口大小、开口方向完全相同.

（二） 归纳结论：

1. 图像的平移规律

2. 二次函数y=a（x+h）2+k图像可以看成是y=ax2图像平移得到的，因此探求函数y=a（x+h）2+k的图像性质就从函数y=ax2图像性质中类比得到.

（三） 基本解题策略

“点动成线”，抛物线是由无数个点构成的，所以抛物线平移过程中，图像上的每一个点同时都在作相应一致的平移，而抛物线上最特殊的点是顶点，因此在问题解答中，我们常常借助转化思想将其转化为顶点的平移，往往起到事半功倍的效果.

二、 典型例题

1. 抛物线的平移

例1 抛物线y=-x2+bx+c的图像如图1所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________________.

【解析】由图像可知，对称轴为x=1，经过点（3，0），

设y=-（x-1）2+h，把点（3，0）代入关系式，得h=4.

所以原图像的解析式为y=-（x-1）2+4.

然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y=-（x-1+2）2+4-3，即y=-x2-2x.

【点评】抛物线的平移关键是抓住顶点的平移，在确定函数解析式时一般采用顶点式，然后“左加右减，上加下减”.

2. 抛物线的逆向平移

例2 把二次函数y=ax2+bx+c的图像先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图像的解析式是y=x2-4x+5，则a+b+c=________.

【解析】抛物线y=ax2+bx+c先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y=x2-4x+5，可以转化为抛物线y=x2-4x+5先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到y=ax2+bx+c.

由y=x2-4x+5=（x-2）2+1，向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到y=（x-2+3）2+1+2，即y=（x+1）2+3，即y=x2+2x+4，则a+b+c=7.

【点评】通常抛物线的逆向平移先转化为正向平移，万万不可直接套用“左加右减，上加下减”.另外，二次函数的一般式经过配方转化为顶点式，顶点式转化为一般式，同学们要能熟练掌握.

3. 坐标轴的平移

例3 在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）.

A. y=2（x-2）2+2 B. y=2（x+2）2-2

C. y=2（x-2）2-2 D. y=2（x+2）2+2

【解析】把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，相当于把函数向下、向左平移2个单位，即y=2（x+2）2-2，因此选B.

【点评】根据抛物线与坐标轴的相对关系，将坐标轴的平移转化成我们熟悉的抛物线的平移，从而解决问题，这里体现了最基本的转化思想.

4. 平移性质的应用

例4 如图2，抛物线y=x2与直线y=x交于点A，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是（ ）.

A. y=（x+1）2-1 B. y=（x+1）2+1

C. y=（x-1）2+1 D. y=（x-1）2-1

【解析】由y=x2，y=x，得出A点的坐标是（1，1），所以平移后以A点为顶点的解析式为y=（x-1）2+1.因此选C.

【点评】平移不改变抛物线的开口方向和开口大小，所以平移前后二次函数的二次项系数相同.

5. 平移的简单应用

例5 已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）且过点C（0，-3）.

（1） 求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2） 请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式.

【解析】（1） ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把C（0，-3）代入得3a=-3，解得a=-1，故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3，∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴顶点坐标为（2，1）.

（2） 根据题意，平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上任意一点即可，所以不妨取点（0，0）为其顶点，此时，抛物线的顶点就从点（2，1）平移到点（0，0），因此平移过程是：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2.

【点评】①根据已知点坐标的特点，利用待定系数法设交点式求函数关系式较为简便.②这是一个开放性问题，顶点落在直线y=-x上即可，所以在解答时，尽可能选择相对简单的点来计算.

6. 抛物线与几何变换

例6 在同一坐标平面内，下列4个函数：①y=2（x+1）2-1，②y=2x2+3，③y=-2x2-1，④y= x2-1，其图像不可能由函数y=2x2+1的图像通过平移变换、轴对称变换得到的函数是________.（填序号）

【解析】只有当二次函数的二次项系数的绝对值相等时抛物线的形状、大小才完全相同.在④中，y= x2-1二次项系数的绝对值不等于2，所以它的图像不可能由函数y=2x2+1的图像通过平移变换、轴对称变换得到.因此填④.

【点评】二次函数的二次项系数的绝对值相等，则抛物线的形状、大小相同，所对应的抛物线一定可以通过平移变换或轴对称变换或旋转变换得到.

7. 平移的综合应用

例7 如图4，点A，B的坐标分别为（1， 4）和（4， 4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为（ ）.

A. -3 B. 1 C. 5 D. 8

【解析】因为点C的最小值（-3，0）是抛物线在点A处获得的，此时抛物线的对称轴为直线x=1，所以点D的坐标为（5，0），当抛物线顶点由A点向右移动到B点时，共移动了3个单位，此时D点的坐标就是（8，0）.

因此点D的横坐标最大值为8，选D.

【点评】抛物线平移，则抛物线上所有的点都在作相同的平移.

例8 （2015年·湖南岳阳）如图5，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b>0，②a-b+c<0，③阴影部分的面积为4，④若c=-1，则b2=4a，其中正确的是________.（写出所有正确结论的序号）

【解析】①∵抛物线开口向上，∴a>0，

又∵对称轴为x=- >0，∴b<0，

∴结论①不正确；

②依据抛物线y=ax2+bx+c的图像，可得x=-1时，y>0，即a-b+c>0，∴结论②不正确；

③阴影部分是一个平行四边形，∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，又∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=-2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；

④∵函数的最小值是 =-2，又∵c=-1，∴b2=4a，∴结论④正确.

综上，结论正确的是：③④.

【点评】此题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，考查了二次函数的图像与几何变换综合应用，要熟练掌握.

小试身手

1. （2015·山东济南）如图6，抛物线y=

-2x2+8x-6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）.

A. -2

C. -3

2. （2013·广东佛山）如图7（1），已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3） .

（1） 求抛物线的函数表达式；

（2） 求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3） 把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图7（2）中阴影部分）.

答案：

1. D 2. （1） y=x2-4x+3；（2） （2，-1），直线x=2；（3）S=2.

（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）