变式探求本源，提升主观幸福

李小峰

1.积极心理学中对主观幸福感的阐述

积极心理学是指利用心理学目前已比较完善和有效的实验方法与测量手段，研究人类的力量和美德等积极方面的一个心理学思潮。积极心理学的研究对象是平均水平的普通人，它主张促进个人和社会的发展，是帮助人们走向幸福的一门科学.从个体自身的发展来看，积极心理学的价值意义体现在提升个体的主观幸福感、使个体学会并保持乐观及使个体形成积极人格.

主观幸福感指的是个体主观上对自己已有的生活状态正是自己心目中理想生活状态的一种肯定的态度和感受.美国心理学家狄纳概括了主观幸福感的三个特点：主观幸福感依赖个体的亲身体验、主观幸福感更强调个体生理上能体验到的真实积极体验、主观幸福感是个体对自己生活总的体验.研究结果显示，个体只有不断努力完成一些快乐的事情，才会获得持久的幸福状态.

变式教学的本质是：变是为了不变，也就是说，通过变式教学，让学生理解数学问题的本质，通过变式引导学生探求数学问题的本源，做到解一题，通一类.在数学试卷讲评过程中，通过变式教学既可以帮助学生梳理试题的解题方法，更可以帮助学生理解掌握这一类题的解题方法，从而提高教学效率，也可以让学生在对数学本源的探求过程中，持续体会成功的经验，进而获得持久的幸福状态.下面是笔者在试卷讲评时应用变式探求题目本源，提升学生主观幸福感的一次教学实践.

2.教学片段欣赏

2.1原题

（2010，苏州一模，14）如图1正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 =λ +μ ，则λ+μ的最小值为？摇？摇 ？摇？摇.

图1

2.2解法探究

讲评过程：笔者在讲解这道题时，先请同学讲解.

生1：如图2建立直角坐标系A-xy，设AB=2，点P（x，y），则E（1，0），C（2，2），x +y =4，设x=2cosθ，y=2cosθ，0≤θ≤ ，则 =（2，2）， =（1，-2）， =（2cosθ，2sinθ），所以（2，2）=λ（1，-2）+μ（2cosθ，2sinθ），

图2

解得λ=2- ，μ= ，

设f（θ）=λ+μ=2+ ，0≤θ≤ ，当0<θ< 时f′（θ）=（2+ ）′= = >0，所以f（θ）在（0， ）上单调递增，

故当θ=0时，f（θ）=λ+μ取得最小值为 .

接着请第二位学生讲.

学生2：老师，我是猜的，先建系，再把D点，AC与 的交点点，B点三个点代入计算后发现P从D点向B点运动时，λ+μ的值越来越小，所以我就断定当P点在B点时，λ+μ的值最小为 ，只是我觉得幸福来得太突然，有些不太确定.经过生1的讲解，我为自己的猜想找着了证明方法.在生1的解题过程中的参数θ是 与x轴的夹角，f（θ）是单调增函数，而让P从D点向B点运动时，随着θ的减小，f（θ）也在减小，所以我的猜想是正确的.

这个学生说完后，立即有一名同学站起来提出了一个问题.

学生3：老师，向量中的问题一般都有几何意义，那么这个题的几何意义是什么呢？

顿时，学生被这个问题吸引住了，立即展开了热烈的讨论，经过近5分钟的激烈讨论，终于有同学来讲解讨论结果.

2.3解法变式

学生4：如图3将 移至 ，则，连接PF与AC交于G点，因为P、G、F三点共线，所以有 =x +y ，其中x+y=1（源自苏教版必修4，P77第11题），又A、G、C三点共线，可以设 =s ，

图3

得到 =s（x+ +y ）=sx +sy ，因为 ， 不共线，对比 =λ +μ ， = ，所以有λ+μ=sx+sy=s，而根据图形可知s>0，所以s= ，要求s的最小值，需要| |最大，如图4在 上取三点P ，P ，P ，得到G ，G ，G ，发现让P从D点向B点运动时，| |越来越大，所以在B点时| |最大，λ+μ取得最小值，再用坐标法算得λ+μ的最小值为 .

打铁需趁热，笔者立即给出如下变式.

图4

2.4题目变式

变式1：（2009，安徽，理14）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动.若 =x +y ，其中x，y∈R，则x+y的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.

图5

生5：如图6，连接AB与OC交与点D，则 =λ +μ ，其中λ+μ=1，又 =s =s（λ +μ ）=λs +μs ，所以x+y=sλ+sμ=s= ，当OC⊥AB交AB于D时，| |取得最小值 ，所以s即x+y的最大值为2.

此处略去了其他解法.

图6

2.5解题小结

生6：经过上述两题的探索，我发现“向量中 =x +y ，求x+y最值.”这类问题可以采用三点共线得到x+y的几何意义：设CD与AB交于E点，则x+y=± 通过几何意义找出| |的最值就可以算出x+y最值了.

生7：我认为在生7的基础上还要补充两点，其中| |的长度必须是定值，再次是求λx+μy的最值也可以，这样我们可以根据这个几何意义编写题目.

2.6教学小结

原题中，生1的解法是绝大多数学生使用的方法，整个解题过程有3个解题难点“建系，转化成三角函数，用导数判断函数的单调性”，成为一道难题.笔者通过研究得到λ+μ的几何意义，然后在课堂上通过参与学生的讨论引导学生得出结论.笔者在高三复习课中尽量将课堂让给学生，将讲台让给学生，将精彩让给学生，这样学生在数学课堂上不仅掌握了某一道题的解题方法，更通过合作、讨论、变式探究出了数学题目的本质，彻底掌握了一类题的解题方法，增强了学习数学的信心与兴趣，主观幸福感也随之增强.