例说抛物线的对称性 助解中考压轴题

崔恒刘

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像抛物线是一个轴对称图形，当我们面对抛物线的问题时如果能用好用足抛物线的对称性，则能化繁为简，迅速求解. 本文以杭州、泰州、北京的三道中考压轴题为例，层层递进，分析研究借助抛物线的对称性解题的好处.

综上所述：当点C的坐标为（0，8）时，要使y1随着x的增大而减小，则x>2；当点C的坐标为（0，-8）时，要使y1随着x的增大而减小，则x<-2.

【点评】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是轴对称图形，当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增加，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小. 本题欲求“当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围”，这就告诉我们本题与抛物线的对称性有关，我们必须探索抛物线的开口方向和对称轴.

例2 （2013·江苏泰州）已知：关于x的二次函数y=-x2+ax（a>0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图像上，其中n为正整数.

（1） 若y1=y2，请说明a必为奇数；

（2） 设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；

（3） 对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由.

【分析】（1） 因为点A（n，y1）、B（n+1，y2）都在二次函数y=-x2+ax的图像上，所以y1=-n2+an，y2=-（n+1）2+a（n+1），

若y1=y2，则-n2+an=-（n+1）2+a（n+1），

整理得a=2n+1，因为n为正整数，所以a必为奇数.

【点评】本题虽然没有像例1那样，用文字语言明确说明二次函数的增减性，但它用符号语言表明了这种增减性. 你可以用不等式的知识解决这个问题，但利用抛物线的轴对称解决更有它的优越性，而且要注意，对于自变量取连续的两个整数，过了对称轴，还能保持一点点的连续不变的增减性. 第（3）问更是妙不可言，就由你自己来意会吧.

例3 （2013·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.

（1） 求点A、B的坐标；

（2） 设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；

（3） 若该抛物线在-2

【分析】（1） 当x=0时，y=-2，所以抛物线与y轴交于点A（0，-2），y=mx2-2mx-2=m（x-1）2-（m+2），所以抛物线的对称轴为直线x=1，其与x轴的交点坐标为B（1，0）.

（2） 因为抛物线的对称轴为直线x=1，所以点A（0，-2）、B（1，0）关于抛物线对称轴的对称点为A′（2，-2）、B′（1，0），因为直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，所以直线l经过A′（2，-2）、B′（1，0）.由此可求直线l的解析式为y=-2x+2.

（3） 这是本题的难点所在，解题的关键是观察图像，根据抛物线的对称性，将“抛物线在2

因为抛物线对称轴为x=1，如图5，抛物线在2

当x=-1时，代入直线l得y=-2x+2=4，所以抛物线过点（-1，4），当x=-1时，m·（-1）2-2m·（-1）-2=4，解之：m=2. 所以抛物线解析为y=2x2-4x-2.

【点评】本题第（3）问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到由于直线l与直线AB关于抛物线的对称轴对称，抛物线在2

（作者单位：江苏省东台市实验中学教育集团）