关于不定积分凑微分法的一个注记

陈勇　李志文　陈俊希

摘 要： 本文通过对复合函数由外向内地剥离分析，借助一阶微分形式不变性，提出了次外层微分法，以简捷有效地解答高等数学教材中可通过凑微分法得解的不定积分问题.

关键词： 复合函数次外层 微分形式不变性 次外层微分法

不定积分凑微分法是高等数学的教学重难点内容.其基本原理[1]是：设f（u）具有原函数F（u），u=g（x），可导，则有？蘩f[g（x）]g′（x）dx=？蘩f[g（x）]dg（x）=？蘩f（u）du=F（u）+C=F[g（x）+c].该方法是将一阶微分形式不变性利用到求不定积分中，先凑出被积函数f[g（x）]g′（x）中复合函数f[g（x）]的中间变量g（x）的微分dg（x），再借助基本积分公式，求得一些较复杂函数的不定积分.

一、传统教法效果不佳

以上求解中，例1和例2都是通过了两次凑微分运算后才得解.

由于凑微分是微分逆运算，对初学者而言，其求导和微分都还不十分熟练.如果再要求其进行求导和微分的反向运算，这种非常规的反动作，就会使其感到十分别扭.从实践教学反馈来看，学生对一些简单题目，比如被积函数中所含的复合函数只有二层时，还可以容易求得结果，但面对多层复合函数情形，多数同学便束手无策，不知该如何下手，而且一次又一次地凑微分运算，学生极易将积分公式和微分公式混淆，导致作业错误率极高，学习效率低下.学生对这部分内容的普遍反映是学习难度大，方法不易掌握.

二、微分形式不变性引发的新思路

微分形式不变性[3]的基本原理是：设y=f（u），则dy=f′（u）du，其中u是自变量，设y=f（u），u=g（x）则dy=df（u）=f[g（x）]g（x）dx=f′（u）du，其中u是中间变量.可见，无论u是自变量还是中间变量，y=f（u）的微分形式不变，都是f′（u）du，类似地，多层复合函数f（u）的微分形式也是df（u）=f′（u）du.

这就提示我们，可对？蘩f[g（x）]g′（x）dx中被积函数所含复合函数f（g（x））的结构重新进行分析，将f[g（x）]由外向内地剥离，找到次外层u=g（x）再通过计算次外层微分du，找平积分式，最后利用常見的基本积分公式求得结论.

这样做的好处是，次外层是在由外向内的剥离过程中直接找出来的，而不是由里向外一层层凑微分得到的.这就避免了别扭且容易犯错的凑微分运算，只需将找出来的次外层u，直接放到d的右边，便可省事不费力地得到梦寐以求的？蘩f（u）du.当然，要想准确解题，还需对次外层u进行微分计算，并将新的积分式做还原处理，以使前后积分式相等.这种方法可简称为“次外层微分法”，一般地，可以按照“找、微、还、用”四步骤进行解题：①找：找复合函数f（u）的次外层u；②微：计算次外层微分du；③还：对新积分式做系数处理，使之与原积分式相等；④用：利用常见的基本积分公式求得结论.

在次外层微分法的四步骤中，能否迅速准确地找到次外层u成为解题的关键，其要点是：复合函数f[g（x）]的次外层u=g（x）常位于被积函数的分母上、根号下、括号内等部位，也可能次外层u=g（x）就是含在被积函数中的最复杂的那个函数式，如反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角函数）等.

三、应用举例

1.找分母

四、结语

实践教学中，为了帮助学生掌握次外层微分法的解题技巧，常需对学生进行以下三方面针对性的训练：1.熟练计算复合函数微分；2.熟记并灵活运用基本积分公式（u为自变量或中间变量）；3.迅速准确地找出复合函数次外层.学会方法后，学生一般都能一步到位地迅速解题，学习效果事半功倍，同时教师应注意引导学生将次外层微分法和凑微分法进行比较，令其加深对微分和凑微分互逆运算的认识，充分理解复合函数既能由内向外组装，又可由外向内剥离的结构分析特征，更好地融合微积分知识，牢固掌握不定积分这部分内容.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版上册）.高等教育出版社，2007.4，第六版.

[2]吴传生.经济数学——微积分.高等教育出版社，2009.4，第2版.

[3]李军英，刘碧玉，韩旭里.微积分（上册）（第二版）.北京：科学出版社，2008.7，第二版.