高中三角函数问题常见

李军

三角函数问题是高中数学的重要内容，是学习高中数学的重点，也是历年高考的热点内容.三角函数中常见错解有以下几类.

一、忽视具体函数值的制约致错

例题：已知sin■=■，cos■=-■，试确定α所在象限.

错解：由sin■=■>0，cos■=-■<0可知■为第二象限角.

即2kπ+■<■<2kπ+π（k∈Z），从而4kπ+π<α<4kπ+2π（k∈Z），故α为第三或第四象限或终边在y轴负半轴上的角.

错解分析：推出■是第二象限角是正确的，但这只需由sin■>0，cos■<0即可确定，而题中sin■=■，cos■=-■不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步缩小■所在区间.

正解：由sin■=■>0，cos■=-■<0可知■为第二象限角.又由于sin■=■<■=sin■π，因此2kπ+■π<■<2kπ+π，即4kπ+■π<α<4kπ+2π（k∈Z），故α为第四象限角.

二、忽视角的范围致错

例题：已知tanα=■，求cos（π-α）.

错解：∵sin■α+cos■α=1，∴tan■α+1=■

∴cosα=■=■=■，∴cos（π-α）=-cosα=-■.

错解分析：由于tanα=■>0，因此α可能是第一象限的角，也可能是第三象限的角，因此，利用平方关系求cosα开方时，根号前面应取“±”号.

正解：∵tanα=■>0，∴α是第一或第三象限的角.

又∵sin■α+cos■α=1，∴tan■α+1=■，

∴cosα=±■=±■=±■

∴cos（π-α）=-cosα=±■（α为第一象限角取负，α为第三象限角取正）

三、求角时，选择三角函数不当致错

例题：在△ABC中，A，B为锐角，若cos2A=■，sinB=■则A+B的值为？摇？摇 ？摇？摇？摇.

错解：∵A，B为锐角，∴0

又∵cos2A=1-2sin■A=■，∴sinA=■，cosA=■.

∵sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=■×■+■×■=■，

∴A+B=■或A+B=■π.

错解分析：由于0

正解：∵A，B为锐角，sinB=■，∴cosB=■=■

又cos2A=1-2sin■A=■

∴sinA=■，cosA=■=■

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=■×■-■×■=■.

∵0

四、忽视三角形内角的范围致错

例题：在△ABC中，内角A、B、C满足4sinBsin■（■+■）+cos2B=1+■，求角B的度数.

错解：由4sinBsin■（■+■）+cos2B=1+■得：

4sinB·■+1-2sin■B=1+■，即2sinB+1=1+■

∴sinB=■

∴B=■

错解分析：在△ABC中，内角B∈（1，π），由sinB=■知B=■或B=■π，忽视了角B的范围致错.

正解：由4sinBsin■（■+■）+cos2B=1+■得：

4sinB·■+1-2sin■B=1+■，即2sinB+1=1+■

∴sinB=■

又∵B∈（1，π），∴B=■或B=■π

五、没有抓住变换的对象致错

例题：把函数y=sin（5x-■）的图像向右平移■个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的■倍，所得图像对应的函数解析式为（？摇？摇）

A.y=sin（10x-■π）？摇？摇B.y=sin（10x-■π）

C.y=sin（10x-■）？摇？摇D.y=sin（10x-■π）

错解一：将原函数图像向右平移■个单位长度，得y=sin（5x-■-■）=sin（5x-■π），再把横坐标缩短到原来的■倍，得y=sin（10x-■π），故选A.

错解二：将原函数图像向右平移■个单位长度，得y=sin[5（x-■-■）]=sin[5（x-■π）]，再把横坐标缩短到原来的■倍，得y=sin（10-■π），故选B.

错解分析：这两种解法都是错误的，其原因在于没有抓住变换的对象.

错解一中，在平移变换时，把5x看成变换的对象；错解二中，在伸缩变换时，把5（x-■π）看成变换的对象.

正解：把原函数图像向右平移■个单位长度，得y=sin[5（x-■）-■]=sin（5x-■π），再把横坐标缩短到原来的■倍，得y=sin（10x-■π），故选D.

六、复合函数单调性规律理解不到位致错

例题：求函数y=sin（■-2x）的单调增区间.

错解：令μ=■-2x，则y=sinμ，而函数y=sinμ在区间[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z）上递增，整体代换得：2kπ-■≤■-2x≤2kπ+■（k∈Z）.

解得：-kπ-■≤x≤-kπ+■π（k∈Z）.由于k表示的是周期的整数倍，因此可写为：kπ-■≤x≤kπ+■π（k∈Z），

即所求的单调递增区间为[kπ-■，kπ+■π]（k∈Z）.

错解分析：要全面地根据内、外层函数y=sinμ的单调性确定复合函数的单调性或单调区间.

正解：令μ=■-2x，则内函数μ是关于x的减函数，那么所求复合函数的单调增区间即要取外函数的单调减区间求解.

即μ∈[2kπ+■，2kπ+■]（k∈Z）即2kπ+■≤■-2x≤2kπ+■（k∈Z）

解得：-kπ-■≤x≤-kπ-■（k∈Z）

由于k表示的是周期的整数倍，因此可写为：kπ-■≤x≤kπ-■（k∈Z），

即所求的单调增区间为[kπ-■，kπ-■]（k∈Z）.