数学教学案例分析

郁得环

本节课是在学习了直线和圆的位置关系后的一节习题课，旨在巩固和提高学生运用数形结合思想方法和通过转化解决问题的能力.

例1.（2010江苏高考）在平面直角坐标系xoy中，已知圆x +y =4上有且只有四个点到直线l：12x-5y+c=0的距离为1，求实数c的取值范围.

设计意图：在学习了直线和圆的位置关系后，更深一层次地解决问题.本题的关键是让直线动起来，在动态过程中寻找满足题意的位置.通过数形结合解决这个问题，同时也让学生发现直线在运动的过程中有三个点、两个点和一个点时的c的取值范围，让学生自己动手动脑解决这个问题，以利于以后解本类题型的变式.

解析：由于圆上的点到直线的距离1恰好是半径2的一半，当直线l介于直线l 与l 之间时，在直线l的两侧各有一条与l平行的直线l到的距离为1，故而有四个点. <1，即-13

通过这道题提高学生的识图及分析问题的能力.

变式1.圆x +2x+y +4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点有几个？

解析：将圆的方程化为标准方程（x+1） +（y+2） =8，圆心（-1，-2）到直线x+y+1=0的距离d= = ，则与直线x+y+1=0的距离为 的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求.由于圆的半径为2 ，因此与直线x+y+1=0的距离为 的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有两个公共点.

变式2.设圆C：（x-3） +（y+5） =r （r>0），直线l：4x-3y-2=0：

①圆C上有且仅有一个点到直线l的距离等于1，求圆C的半径r的取值范围；

②圆C上有且仅有两个点到直线l的距离等于1，求圆C的半径r的取值范围；

③圆C上有且仅有三个点到直线l的距离等于1，求圆C的半径r的取值范围；

④圆C上有且仅有四个点到直线l的距离等于1，求圆C的半径r的取值范围.

例2.如果x，y实数满足方程（x-3） +（y-3） =6，求：

（1） 的最值；

（2）x+y的最值；

（3） 的最值；

（4）|3x+4y-36|的最值.

设计意图：类比在线性规划中解决此类问题的方法，先将所求的代数表达式赋予几何意义，把问题转化为求此几何量的最值问题，再从几何直观出发，根据图形的几何性质观察最值出现的时机和位置，从而解决代数表达式的最值问题.

解析：（1）设P（x，y），则P点的轨迹是已知圆C：（x-3） +（y-3） =6.而 的几何意义就是直线OP的斜率k，依题可知当OP与圆C相切时斜率取得最值.

（2）设x+y=b，则y=-x+b，将问题转化为直线运动过程中的纵截距的最值，依题可知当直线与圆相切时b取最值.

（3） 的几何意义是圆上的点到定点（2，0）的距离，圆心到（2，0）的距离加半径、减半径即为最大和最小值.

（4）|3x+4y-36|的几何意义是圆上的点到直线3x+4y-36=0的距离的5倍的最值.根据题意圆心到直线的距离加减半径再乘5即为所求最值.

变式：已知实数x，y满足x +y =9（y≥0），试求m= 与b=2x+y的取值范围.

设计意图：通过上道例题，很多学生认为都是在直线与圆相切时取得最值，故而做错了.设计这道题让学生明白在解决问题时要注意看图及直线的运动情况再结合几何意义给出结论，要真正地理解此类题的转化和数形结合思想.

解析：这道题是易错题.此题的圆是一半圆，根据圆上动点及m，b的几何意义可知m的取值范围是（-∞， ）∪[ ，+∞），b∈[-6，3 ].

通过这节课让学生充分理解数形结合的重要性，以及由一个知识点引申出的一类题型的做法.