如何获取最大利益？

王永宽

不等式（组）的知识是初中数学中的难点，同时也是中考的热点. 不等式（组）的知识在我们的实际生活中也有着广泛的应用，真正体现了数学来源于生活，又服务与生活. 近几年来，应用不等式（组）的知识解决实际问题的试题倍受命题者的青睐，在中考试题中也频频亮相.现就如何获取最大利益精选几例分析如下，供同学们鉴赏.

例1 世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元. 某班有27名少先队员去世纪公园进行活动. 当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票. 但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

【解析】买27张票的钱=27×5=135（元），买30张票的钱=30×（5-1）=120（元），

由于135>120，所以购买30张票不仅不“浪费”，反而更省钱.

【思维点拨】设购买x张门票.由5x=120可得x=24.这说明当x=24即购买24张门票时，其费用与购买30张门票的费用相等.由此可知：当x≤24时，应直接按每人5元购买x张门票；当24

例2 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴30元/月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.1元，“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟，付电话费0.2元.假设一个月的通话时间为x分钟，两种通讯方式的费用分别为y↓1元和y↓2元.

（1） 试用x的代数式分别表示出y↓1、y↓2的值；

（2） 一个月内通话多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？

（3） 若某人预计一个月内通话费80元，则应选择哪种通讯方式较合算？

【解析】（1） y↓1=0.1x+30，y↓2=0.2x；（2） 令y↓1=y↓2得0.1x+30=0.2x，解得x=300（分钟）.所以一个月内通话300分钟时，两种通讯方式的费用相同；（3） 由y↓1=80得0.1x+30=80，解得x=500（分钟）；由y↓2=80得0.2x=80，解得x=400（分钟）.由于500>400，所以应选择“全球通”方式比较合算.

【思维点拨】问题（3）的解题关键是先将两种通讯方式下的通话时间分别求出来，然后进行比较大小，从而确定出哪种通讯方式比较合算.类似于问题（3）类型的问题还可采用如下的一般解法：令y↓1=y↓2得0.1x+30=0.2x，解得x=300（分钟）.此时y↓1=y↓2=60（元）.所以一个月内通话时间为300分钟时，两种通讯方式的费用相同，其费用为60元；令y↓1>y↓2得0.1x+30>0.2x，解得x<300（分钟）. 此时60>y↓1>y↓2.所以一个月内通话时间小于300分钟或通话费用小于60元时，“神州行”方式比较合算；令y↓1300（分钟）.此时60

例3 新知中学初三年级准备购买10只米奇品牌的笔袋，每只笔袋配x（x≥3）支水笔作为奖品，已知A、B两家超市都有这个牌子的笔袋和水笔出售，而且每只笔袋的标价都为20元，每支水笔的标价都为1元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折销售，而B超市买1只笔袋送3支水笔，若仅考虑购买笔袋和水笔的费用，请解答下列问题：

（1） 如果只在某一家超市购买所需笔袋和水笔，那么去A超市还是B超市买更合算？

（2） 当x=12时，请设计最省钱的购买方案.

【解析】（1） 设在A超市购买的费用为y↓1元，在B超市购买的费用为y↓2元，则据意得：

y↓1=（10×20+10x）×90%=9x+180，y↓2=10×20+10（x-3）=10x+170；

令y↓1>y↓2得9x+180>10x+170，解得x<10.所以当3≤x<10时，去B超市更合算；令y↓1=y↓2得9x+180=10x+170，解得x=10.所以当x=10时，两家超市的费用一样，可任选其中一家超市购买；令y↓110.所以当x>10时，去A超市更合算.

综上所述：当x>10时，去A超市购买更合算；当x=10时，去A超市或B超市购买一样；当3≤x<10时，去B超市购买更合算.

（2） 当x=12时，即购买10只笔袋，应配120支水笔.由于x=12>10，若只在一家超市购买所需笔袋和水笔，则显然是去A超市更合算.但问题（2）并没有像问题（1）那样限定只在一家超市购买，故而可同时选择去两家超市购买，其购买方案如下：设总费用为w，在A超市买m只笔袋，则在B超市买（10-m）只笔袋，送3（10-m）支水笔. 因为A超市所有商品均打九折销售，所以剩下[120-3（10-m）]支水笔应在A超市买.据意得：w=0.9[20m+120-3（10-m）]+20（10-m），即 w=0.7m+281（0≤m≤10）.显然当m=0时，w的值最小，其最小值为w=281. 综上所述：当x=12时，最省钱的购买方案为：只在B超市购买10只笔袋，同时获得送30支水笔，然后再去A超市按九折购买90支水笔.

【思维点拨】由于问题（1）限定了只在一家超市购买笔袋和水笔，所以其购买方案有两种：一种是全部去A超市，第二种是全部去B超市，究竟去哪家超市更合算显然取决于x的取值.而问题（2）并没有限定只在一家超市购买笔袋和水笔，所以其购买方案有三种：一种是全部去A超市，第二种是全部去B超市，第三种是同时选择去两家超市购买，考虑到A超市所有商品均打九折销售，故除赠送的部分水笔外，其余差缺的水笔应在A超市购买.

【巩固练习】

1. 小王大学毕业后去两家超市应聘：A超市底薪为1 000元再加上每月销售额的10%；B 超市底薪为600元再加上每月销售额的20%.如果你是小王，那么该选择去哪家超市上班？

2. 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元. 厂方在开展促销期间，向客户提供两种优惠方案：（1） 买一套西装送一条领带；（2） 西装和领带均按定价的90%付款.某商店老板现要到该服装厂购买西装20套，领带x（x>20）条. 聪明的你，请你帮助该商店老板设计出最省钱的购买方案.

【参考答案】

1. 设每月销售额为x元，A超市的工资为y↓1元，B超市的工资为y↓2元.据意得：

y↓1=1 000+10%x；y↓2=600+20%x.

令y↓1=y↓2得1 000+10%x=600+20%x，解得x=4 000；

令y↓1>y↓2得1 000+10%x>600+20%x，解得x<4 000；

令y↓14 000；

综上所述：若小王每个月的销售额小于4 000元，那么应该选择去A超市上班；若小王每个月的销售额等于4 000元，那么去A超市或B超市的工资是一样的，可任选一家超市去上班；若小王每个月的销售额大于4 000元，那么应该选择去B超市上班.

2. 本题有三种购买方案：第一种是按优惠方案（1）购买，第二种是按优惠方案（2）购买，第三种是同时选择两种优惠方案购买.

方案①：只选择优惠方案（1）购买，设其购买费用为y↓1元，据意得：

y↓1=200×20+（x-20）×40=40x+3 200.

方案②：只选择优惠方案（2）购买，设其购买费用为y↓2元，据意得：

y↓2=（200×20+40x）×90%=36x+3 600.

令y↓1>y↓2得40x+3 200>36x+3 600，解得x>100；

令y↓1=y↓2得40x+3 200=36x+3 600，解得x=100；

令y↓1

由此可见：当x>100时，方案②比方案①省钱；当x=100时，方案①与方案②的费用相同；

当x<100时，方案①比方案②省钱.

方案③：同时选择两种优惠方案，为了能获得厂方赠送领带的数量最多，又同时享受9折优惠，可采用先按方案①购买20 套西装并获赠20条领带，然后余下（x-20）条领带按优惠方案②购买，设其购买费用为y↓3元，据意得：

y↓3=200×20+（x-20）×40×90%=36x+3 280.

由于3 600>3 280，显然方案③比方案②省钱.

方案③与方案①比较，令y↓320，所以当x>20时，方案③比方案①省钱.

综上所述，当x>20时，按方案③购买最省钱.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）