李富军
最值问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终,是中考的热点问题.无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较多的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)、一次函数和二次函数的性质求最值等.由于其解题方法较灵活,综合性强,不少同学时常感到无从下手,下面对常见题型作一归纳,供同学们参考,
一、函数型
利用一次函数的增减性和二次函数图象的对称性及函数的增减性,确定某范围内函数的最大或最小值.
1.利用一次函数的增减性求最值
例1 (2014.黔南州)已知某厂现有A种金属70吨.B种金属52吨,现计划用这两种金属生产M、N两种型号的合金产品共80000套,已知做一套M型号的合金产品需要A种金属0.6kg,B种金属0.9kg,可获利润45元;做一套Ⅳ型号的合金产品需要A种金属1.1kg,B种金属0.4kg,可获利润50元.若设生产N种型号的合金产品套数为x,用这批金属生产这两种型号的合金产品所获总利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
(2)在生产这批合金产品时,Ⅳ型号的合金产品应生产多少套,该厂所获利润最大?最大利润是多少?
分析:(1)根据总利润等于M、N两种型号合金的利润之和列式整理即可,再根据M、N两种合金所用A、B两种金属的质量不超过现有金属质量列出不等式组求解即可;(2)根据一次函数的增减性求出所获利润最大值即可.
解:(l)y=50x+45(80000-x)=5x+3600000.
1.1x+0.6(80000-x)≤70000.
由题意得,0.4x+0.9(80000x-x)≤52000.
不等式组的解集是40000≤x≤44000.
∴y与x的函数关系式是y=5x+3600000(40000≤x≤44000).
(2)5>0,故y随x的增大而增大.
∴当x=44000时,y最大=3820000.
即生产N型号的合金产品44000套时,该厂所获利润最大,最大利润是3820000元.
点评:本题考查了一次函数的应用,一元一次不等式组的应用,利用一次函数求最值时,关键是应用一次函数的性质,即由函数y随x的变化情况,结合自变量的取值范围确定最值.
2.利用二次函数图象的对称性及函数的增减性求最值
例2(2014.徐州)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75.其图象如图1.
(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
分析:(1)根据待定系数法,可得二次函数解析式,根据顶点坐标,可得答案.
(2)根据函数值大于或等于16,可列不等式求出解集,可得答案.
解:(l)函数y=ax2+bx-75的图象过点(5,0)、(7,16).
25a+5b-75=0,
a=-1.
∴{49a+7b-75=16
解得{b=20.
抛物线y=-x2+20x-75的顶点坐标是(10,25),故当x=10时,y最大=25.
答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.
(2)∴函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10,
∴点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16).
又函数y=-x2+20x-75的图象开口向下,
∴当7≤x≤13时,y≥16.
答:销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元,
点评:本题考查了二次函数的应用,利用待定系数法求解析式,利用顶点坐标求最值,利用对称点求不等式的解集,
二、几何型
1.利用两点之间线段最短,或点到直线之间垂线段最短求最值
例3 (2014·东营)如图2,有两棵树,一棵高12m,另一棵高6m,两树相距8m,一只鸟从一棵
树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行___m.
分析:根据“两点之间线段最短”可知小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
解:如图2,设大树高为AB=12m,小树高为CD=6m.
过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形,连接AC.
∴EB=6m,EC=8m,AE=AB-EB=12-6=6(m).
在Rt△AEC中,.
故小鸟至少飞行10m.
点评:本题考查了勾股定理的应用,根据实际得出直角三角形,又考查了学生解决实际问题的能力.
2.利用轴对称的性质求最值
例4 (2014.张家界)如图3,A B.CD是半径为5的OO的两条M
弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF 上的任意一点,则PA+PC的最小值
为
.
分析:A、B两点关于MN对称,因而PA+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,PA+PC的值最小,即BC的值就是PA+PC的最小值,
解:连接OA,OB,OC,作CH垂直于AB于H.
根据垂径定理,得到BE=1/2AB=4,CF=1/2CD=3.
∴CH=OE+OF=3+4=7 ,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.
在直角△BCH中根据勾股定理得到
则PA+PC的最小值为.
点评:正确理解BC的长是PA+PC的最小值,是解决本题的关键.
3.利用展开图求最值
例5(2014.潍坊)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图4所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是10尺,则该圆柱的高 为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是____尺.
分析:这种立体图形求最短路径问题,可以转化为展开立体图形成为平面图形的问题解决,展开后可转化为图5,所以是一个求直角三角形斜边长的问题,根据勾股定理可求出.
解:如图5,一条直角边(即枯木的高)长20尺,另一条直角边长为5x3=15(尺),因此葛藤的最短长度为
点评:本题考查了平面展开最短路径问题,关键是把立体图形展成平面图形,再根据勾股定理求出解.