打开初中数学复习之“锁”的“金钥匙”

刘国仲

初中数学总复习并不是对以前所教的知识进行简单的回忆和再现。最主要的是通过对知识系统复习，使学生把每一章节中的各个知识点“串”起来，找出其变化规律、性质相似之处及不同点等，从而使其形成完整的知识体系，达到以点成线，以线成面，以面成体的目的。只有这样学生才能把所学知识融会贯通。下面笔者结合自己多年的教学实践，谈谈初中数学教学复习惯用的五把“金钥匙”。

一、根据学情，制订翔实的计划

一个好的复习计划对师生进行系统复习具有显著的导向作用，所以计划的好坏直接影响复习效果的优劣，制订翔实的计划至关重要。这就要求一线教师首先要对《初中数学教学大纲》理解深透、研究深入、把握到位，明确方向、突出重点，对学生“学什么”、“怎样学”了如指掌；其次要深入分析学情，对平时教学中掌握的情况进行定性分析；最后要结合所学知识和学生实际，对复习计划不断作出完善、修改或调整。

二、章节复习，注重知识的转化

我国著名数学家华罗庚先生指出“学习有两个过程，一个是从薄到厚，另一个是从厚到薄”，前者是“量”的积累，后者则是“质”的飞跃，教师在复习过程中，不仅应该要求学生对所学的知识、典型的例题进行反思，而且应该重视对学生巩固所学的知识由“量”到“质”的飞跃这一转化过程。按常规的方式进行复习，通常是按照课本的顺序把学生学过的知识，如数学概念、法则、公式和性质等原本地复述梳理一遍。这样做学生既感到乏味又不易记忆。针对这一情况，我在复习概念、法则、公式和性质等时，采用章节知识归类编码法，即先列出所要复习的知识要点，然后归类排队，再用数字编码，这样做可提高学生复习的兴趣，增强学生的记忆和理解，最主要的是实现了章节知识由量到质的飞跃，实现了厚薄间的转化。

例如，复习“直线、线段、射线”这一节内容，我把主要知识编码成（1）（2）（3）（4），即（1）——一个基础；（2）——两个要点；（3）——三种延伸；（4）——四个异同点。这种复习提纲一提出，学生思维立即活跃起来，有的在思考，有的在议论，有的在阅读课本，设法寻找提纲的答案。我趁势对知识进行必要的讲解和点拨，其答案如下：（1）——一个基础是指以直线为基本图形，线段和射线是直线上的一部分。（2）——两个要点：①两点确定一条直线；②两条直线相交只有一个交点。（3）——三种延伸即三种图形的延伸。直线可以向两方无限延伸；线段不能延伸；射线可以向一方无限延伸。（4）——四个异同点：①端点个数不同；②图形特征不同；③表示方法不同；④描述的定义不同。事实证明，这种善于转化的复习确实能提高复习效率。

三、例题讲解，注重题设的变化

复习课例题的选择，应是最有代表性和最能说明问题的典型习题。例题应能突出重点，反映大纲最主要、最基本的内容和要求。对例题进行分析和解答，发挥例题以点带面的作用，有意识、有目的地在例题的基础上作系列的变化，达到能挖掘问题的内涵和外延、在变化中巩固知识、在运动中寻找规律的目的，实现复习的知识从量到质的转变。

例如，在复习二次函数的内容时，我举了这样一个例题：二次函数的图像经过点（0，0）与（-1，-1），开口向上，且在x轴上截得的线段长为2，求它的解析式。因为二次函数的图像抛物线是轴对称图形，根据已知图像经过第三象限点（-1，-1），且图像在x轴上截得的线段长为2，结合图像所经象限得出图像与x轴的交点为（-2，0），根据题意画图后不难看出（-1，-1）是图像的顶点，所以可用二次函数的顶点式y=a（x+m）■+n，再求得它的解析式。在教学中我对例题做了变化，把例题中的条件抛物线在x轴上截得的线段2改成4，求解析式。变化后，由题意画图可知（-1，-1）不再是抛物线的顶点，但从图中看出，图像除了经过已知条件的两个点外，还经过一点（-4，0），所以可用y=a（x-x■）（x-x■）的形式求出它的解析式。再对例题进行变化，把题目中的“开口向上”这一条件去掉，求解析式，再次变化后，此题可有两种情况：①开口向上；②开口向下，所以有两个结论。

由于条件的不断变化，学生不能再套用原题的解题思路，从而改变了学生机械模仿的学习方式，使其学会分析问题，寻找解决问题的途径，达到了在变化中巩固知识，在运动中寻找规律的目的。从而在知识的纵横联系中，提高了学生灵活解题的能力。

四、多面开花，注重解题的优化

多面开花，一题多解有利于引导学生沿着不同的途径思考问题，可以优化学生思维，因此要将一题多解作为一种解题的方法训练学生。一题多解可以产生多种解题思路，但在量的基础上还需要考虑质的提高，要对多解比较，找出新颖、独特的最佳解题方法，这样才能成为名副其实的优解思路。在数学复习时，我不仅注意解题的多样性，还重视引导学生分析比较各种解题思路和方法，提炼出最佳解法，从而达到优化复习过程，优化解题思路的目的。

例如：计算多项式的乘法（6x+■）（3x-■），本题从表面上无规律可找，但有部分学生习惯按多项式系数，发现第一个因式提出公因数2后就得2×（3x+■）（3x-■），不难发现该多项式恰能是平方差公式的模型，然后用平方差公式进行计算，既省时又省力。显然后一种解题思路优于前一种解题思路。又如：已知2斤苹果，1斤橘子，4斤梨共计6元，又知4斤苹果，2斤梨，2斤橘子共4元，现买4斤苹果，2斤橘子，5斤梨应付多少钱？解此题时，我们首先假设苹果每斤x元，橘子每斤y元，梨每斤z元，故得算式①2x+y+4z=6和算式②4x+2y+2z=4，由算式①和算式②得4x+2y=■，z=■，然后求得多项式4x+2y+5z的值为8。本题妙在不具体求出每种水果的单价，而是使用整体思考，直接求出答案为8元。

在复习过程中加强对解题思路优化的分析和比较，有利于培养学生良好的数学品质和思维发展，能为学生培养严谨、创新的学风打好基础。

五、习题归类，注重题型的类化

考查同一知识点，可以从不同的角度，采用不同的数学模型，作出多种不同的命题。教师在复习时要善于引导学生将习题归类，集中精力解决同类问题中的本质问题，总结出解这一类问题的方法和规律。例如在复习应用题时，我选下列4个题目作为例题。

例1：从东城到西城，汽车需8小时，拖拉机需12小时，两车同时从两地相向而行，几小时可以相遇？

例2：一池水单开甲管8小时可以注满，单开乙管12小时可以完成，两管同时开放，几小时可以注满？

例3：甲乙两人同时从相距10000米的两地相对而行，甲骑自行车每分钟行80米，乙骑摩托车每分钟行200米，问经过几分钟，甲乙两人相遇？

例4：一项工程，甲队单独做需8天，乙队单独做需10天，两队合作需几天完成？

上述四道复习应用题，题目表达方式不同，有的看似是行程问题，有的看似是工程问题，但本质基本相同，数量关系，解答方法基本一样。通过这样的归类训练，学生便能在平时的学习中做有心人，加强方法的积累和归纳，并能分析异同，把知识从一个角度迁移到另一个角度，最终达到常规图形能熟悉、常规结论要记忆、类同方法全套用、独创解法受启发的目的，提高举一反三、触类旁通的能力。

总之，作为教师，我们要根据平常的教学和学生的实际情况找出切合学生实际的复习方法。在每次复习过程中，我们只有正确引导学生充分复习所学知识，巩固好旧知识，才能减轻学生的学习负担，使他们从题海战术中解脱出来，学得灵活，学得扎实，提高复习效率。