运用函数定义域教学，强化学生思维严密性

严戍楼

摘 要： 函数作为整个高中数学教学的主线，函数的定义域、解析式、值域不仅是高考的重点，而且是求解函数的基础.本文以函数定义域求解函数问题为研究依据，介绍了运用运用函数定义域培养学生的发散性、灵活性、严密性思维的办法.

关键词： 函数定义域 严密性 灵活性 发散性

函数教学贯穿整个高中数学的始终，函数定义域是构成函数的主要元素，函数定义域看似比较简单，如果解决问题时不注意，就会让人陷入错误的思维中[1].思维品质则是指体思维活动中的外部表现形式.学生的思维品质主要表现在思维的严密性、思维的灵活性、思维的发散性等.数学教学中必须重视培养学生透过现象看本质，学会从多个角度思考、分析问题，养成追根究底的好习惯.学生在解题时如果不注意定义域，存在不是忽略定义域或考虑错误的现象，致使解题过程中出现形式各样的错误.本文以定义域对强化学生思维品质为研究视角，分析了合理考虑定义域对解题结论的作用与影响.这不仅能提高学生解题能力，而且有利于学生思维品质的发展.

一、函数关系式与定义域

函数定义域就是指这一函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称.对函数关系式进行求解时必须把它的定义域考虑其中，预防求出错误的关系式子.

例1：已知函数y=■的定义域为R，求实数a的取值范围.

分析：函数定义域就是求解函数解析式有意义的自变量取值最大范围.根据题意可设：x∈R，解析式有意义就是指对于任意x∈R都会有ax■+4ax+3≠0成立，简言之，就是说方程ax■+4ax+3=0没有实根成立.进行分类讨论，如果a=0时，则3≠0满足要求；如果a≠0时，则有△=16a■-12a<0，即0

二、函数奇偶性与定义域

函数奇偶性是数学学科的重要知识点，想要判定某函数的定义域是不是关于坐标原点中心对称，如果该函数的区间关于某坐标原点中心对称，就说明该函数具有奇偶性.

例2：判断函数y=x■，x∈[-2，5]的奇偶性.

分析：如果学生求解该函数时不考虑其定义域，那么判断该函数奇偶性就会出现以下错误结论：

∵f（-x）=（-x）■=f（x），∴函数y=x■，x∈[-2，5]是偶函数.学生直接对该函数进行判断，未把该函数的定义域是不是关于原点成中心对称考虑其中，从而因学生的疏忽大意导致解题错误.由于函数的定义域不关于原点对称，因此正确答案是此函数是非奇非偶函数.

三、函数单调性与定义域

函数的单调性也被称为函数的增减性，是对于某个定义区间来说的，如果函数自变量增加，函数值也会因自变量的改变而发生变化，所以对函数的单调性进行研究时必须在定义域区间上进行.

例3：求解函数f（x）=■-■的最大值.

解：f（x）=■-■=■，知f（x）=■-■在其定义域[3，+∞）上为减函数，

∴f（x）=■-■的最大值是f（x）=2.

解题技巧：若解题时，学生并未完全理解掌握函数单调性的相关知识，就不会灵活运用实际做题时，只会套用公式，无法深入理解解题方法.显然由于变形后使得问题得以简化，必须把函数定义域考虑其中方可获取正确答案.

四、运用函数定义域培养学生的思维品质

（一）培养学生的发散性思维

学生的发散性思维是指运用多方面的知识与经验，从不同角度和方面思考问题的本质.数学思维的发散性主要表现在可以捕捉有效形象，合理运用对比、联想，对各个数学题目设想不同的解法，即“一题多解”.研究数学问题必须具备逻辑、推理等思维，当然也离不开灵活变通、想象丰富的发散性思维.

例4：求函数y=4x-1+■的值域.

错误解法：令t=■，则2=t■+1，∴y=2（t■+1）-1+t=2t■+t+1=2（t+■）■+■≥■，故函数的值域是[■，+∞）.

分析：经过换元之后，可以得到t≥0，此时函数y=2t■+t+1在[0，+∞）上为增函数，所以当t=0时，y■=1，所以求得的函数值域是[1，+∞）.

例5：求解函数y=x+■的值域.

解法1：采用判别式解题：原函数经过变形为：（y-x）■=（2-x）？摇？摇x■-2xy+y■-2+x=0；

关于x的二次方程：x■+（1-2y）？摇？摇x+y■-2=0有解，可得出△=（1-2y）■-4×1×（y■-2）≥0，

解出：y≤■，即函数y的值域是（-∞，■].

解法2：换个思考方式，使用换元法求解，因该函数中存在根号，可以假设t=■（x≤2）？鬯x=2-t■（t≥0）（必须注意t的取值范围），于是：y=2-t■+t=-（t-■）■+■（t≥0），显然：若t=■∈（-∞，■].

解题分析：从上述例题可以看出，高中数学教学对于培养学生的发散性思维，一般就是以解决问题为核心，引导学生从多个方面进行分析、观察、联想进行解答.换言之，对学生进行逆向思维、横向思维及一题多解等训练是培养学生发散性思维的重要手段.同时，解答题目后对求得的答案进行检验，有助于学生及时发现解决解题中的失误，锻炼学生的批判性思维，提升其思维品质.在教学过程中，为培养学生的批判性思维品质，可以引导学生对自己的解题结果进行检查，让他们自己分析发现并解决存在的问题.

（二）培养学生的严密性思维

严密性思维就是指思考的问题满足逻辑切准确，数学运算不存在错误.在对函数的解析式进行教学时，必须注意函数的定义域和对应法则，因此求函数的解析式时要把所求函数的定义域考虑在内，尤其是求解实际的应用问题，否则求出的函数解析式可能存在错误.

例6：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，箱底边长是多少，箱子的容积最大？计算其最大容积？

解：假设箱底边长为xcm，则箱高h=■cm，求解箱子的容积为：V（x）=x■h=■.如果本题解到这一步停止，则本题的函数解析式为并未确定其自变量的取值范围，没有全面的解答.从另一个角度说明学生解题严密性不佳.若该自变量所取的数值是负数或不小于60时，V（x）的值就是负数，此时所求的容积与实际问题互相矛盾，所以必须设定自变量的取值范围，该函数关系式为：

V（x）=x■h=■（0

由例6可以看出，运用函数解决数学问题的过程中，需要把求解时函数定义域的取值范围对其产生的影响考虑其中.若忽视定义域的取值范围，就会让学生的解题思维缺乏严密性，从而导致解题错误.实际教学中，老师可以多设计一些有隐含条件的习题，培养学生思维的严密性，更好地锻炼学生的思维.

（三）培养学生的灵活性思维

灵活性思维就是学生可以把已经学到的知识、解题方法举一反三、灵活使用.数学思维的灵活性则要求学生根据客观条件的变化及调整固有的思维模式，脱离思维定势的束缚，从多个方面和角度找寻解决问题的办法.具有灵活思维的人，可以摆脱固定思维模式的束缚，灵活变通的思考问题.具有灵活思维的人也可以及时发现他人不曾注意的地方，从而深刻地认识这一问题.实际教学中，为锻炼学生思维的灵活性，老师可以设置以下题目让他们解答.

例7：求解函数y=3x■-4x+1在[1，4]上的最值.

解：∵y=3x■-4x+1=3（x■-■x）+1=3（x-■）■-■，∴当x=■时，y■=-■.

初看本题的求解，好像只存在最小值并未出现最大值.产生这种错误意识的原因是学生头脑中所形成的二次函数图像总是一根完整的抛物线，并未注意该函数定义域变化情况.定义域的改变致使函数图像不再是完整的抛物线.这是呆板性思维的重要表现，说明学生缺少灵活性的思维.其实这个结论只对二次函数y=ax■+bx+c（a>0）在R上使用，如果给定其定义区间为[p，q]，其最值会出现下述情况：

（1）若-■

（2）若-■>q时，f（x）在[p，q]上为单调递增减函数：f（x）■=f（p），f（x）■=f（q）.

（3）若p≤-■≤q，y=f（x）在[p，q]上的最值的情况.

f（x）■=f（-■）=■，f（x）■=max{f（p），f（q）}.

本题还要继续解下去：∵■<1，∴y=f（x）=3x■-4x+1在[1，4]上是单调递增函数，

又f（1）=0，f（4）=33，所以函数y=3x■-4x+1在[1，4]上的最小值为0，最大值是33.

分析错误的因素：实际教学中，老师过度重视解题的模式化教学，导致学生形成固定的思维模式，学生根据求解二次函数最值的模式解题，并未注意已知条件已经存在变化.在实际教学中，为培养学生思维的灵活性，必须重视数学教学的变化性，让学生从多个方面进行分析，并迅速建立自己的思路，达到“举一反三”灵活运用的效果；让学生克服某些思维定势，重视多角度思维模式联系.学习数学公式时，要求学生把公式的不同变形熟练掌握、灵活应用，这些都有利于培养学生思维的灵活性.

综上所述，在对函数关系式、值域、单调性、等问题求解时，可以对思维过程进行细致检查，判断所求的函数其定义域是否有所变化，会不会影响解题结论，这样有助于锻炼学生的质辨能力，从而提高学生的思维品质.

参考文献：

[1]张文忠.通过函数定义域的教学培养学生思维的严密性[J].贵州教育，2012（9）：42-43.