直线与圆锥曲线教学之我见

张华伟

直线与圆锥曲线问题一直是学生学习的难点、高考命题的热点，一方面是题目本身复杂，信息量大、字母符号多、运算过程复杂、转化思路不明显；另一方面是学生缺少明确的解题意识，面对这么多的字母符号不知如何下手，找不到方向，出现“想不到”“消不去”和“算不对”现象。因此，笔者在分析学情的基础上，总结了多年的教学经验，其中最重要的一条就是：着力提高学生解题意识，树立学生的自信心。明确的解题意识就像大海中的灯塔，能够引导学生的解题思路。

解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，解析几何的核心思想是“数形结合”。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。笔者总结以往教学经验的基础上概括出求解直线与圆锥曲线问题的六种意识：（1）几何条件代数化。（2）代数运算几何化。（3）一般问题特殊化。（4）最值问题多样化。（5）去除思维模式化。（6）向量形式坐标化。在教学中，这六种意识如何让学生真正掌握是个难点，只靠教师的讲是无效的，一定要让学生在解题过程中体验和反思解题的过程，培养解题意识，因此，我认为在课堂教学中可以尝试以下四种方式进行教学：

一、在课堂教学中，创设不同的问题情境，树立学生的解题意识

直线与圆锥曲线问题的求解，最难的就是第一种意识：几何条件代数化，学生往往不会把题目中的几何条件转化成代数关系（一般是坐标表示），为此，笔者在课堂教学中创设不同的问题情境，概括总结出“几何条件转化成代数关系”的核心方法，树立学生的解题转化意识，几何条件代数化。

例1.椭圆C： + =1（a>b>0）的离心率为 ，长轴端点与短轴端点间的距离为 。

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点D（0，5）的直线l与椭圆C交于两点E、F；

（i）设B（0，- ），若BE=BF，求直线l的斜率；

（ii）A是椭圆的右顶点，且∠EAF的角平分线是x轴，求直线l的斜率；

（iii）以线段OE、OF为邻边作平行四边形OEFP，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求O到直线l距离的最小值；

（iv）若以EF为直径的圆过原点，求直线l的斜率；

（v）点M为直线y= x与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

引导学生概括以上问题的求解过程，填写下表：

（vi）你还能提出哪些类似问题？

如：①A是椭圆的右顶点，且∠EAF为钝角，求直线l的斜率的范围；

②A是椭圆的右顶点，且∠EAF为锐角，求直线l的斜率的范围；

③A是椭圆的右顶点，且点A在以EF为直径的圆内，求直线l的斜率的范围；

④A是椭圆的右顶点，且点A在以EF为直径的圆外，求直线l的斜率的范围等。

教学中，要让学生学会通过分析几何条件的本质特征，并且选择适当的代数形式来表示，通常和斜率、中点、距离有关。我们一定要让学生自己慢慢学会解决问题，提高解题能力。

二、在课堂教学中，突出典型例题的讲解过程，培养学生的解题意识

在课堂教学中，渗透数形结合思想、转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想，剖析典型例题，提炼出蕴涵的解题意识，从意识的层面去剖析原来的解题，比如，分析以下问题求解，找出蕴涵的解题意识。

例2.已知椭圆C： + =1（a>b>0）经过点M（1， ），其离心率为 。

（I）求椭圆C的过程；

（II）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求O到直线l的距离的最小值。

解：（I） + =1（——待定系数法）

（II）（1）当直线l斜率存在时，设y=kx+m，由y=kx+m + =1（用代数方法研究几何问题）

消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）>0①

（——几何条件“直线l与椭圆C相交于A、B两点”的代数化）

设A、B、P三点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），則以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB， + = ，（——几何条件代数化）

x0=x1+x2=- ，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=

由于点P在椭圆C上，所以 + =1

（——代数运算几何化，找到k、m的关系）

从而 + =1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足①式。

又点O到直线l的距离为

d= = = ≥ =

当且仅当k=0时等号成立。（——代入消元，最值问题多样化）

（2）当直线l斜率不存在时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P为（-2，0）或（2，0），直线l为x=±1，所以点O至直线l的距离为1。

综上，点O到直线l的距离最小值为 。（——一般情况与特殊情况）

在课堂教学中特别注意强调：

①在课堂教学中，教师一定要让学生思考，相互交流，要引导学生理解好题意：求什么？知什么？能推什么？在学生给出解题思路的基础上，做进一步引导和点评，教师点评力求高位，注意学生情绪的调整，培养学生的数学情感。

②在课堂教学中，着力培养学生的解题意识，树立学生的自信心。要求学生不仅要有很强的综合知识以及运算能力、分析问题与解决问题的能力，还要有坚强的意志力，只要目标明确，坚持比方法更重要，这将对学生今后成长起到重要作用，这是一个育人的好机会，作为一个好教师，不应失去这样的机会。

三、在课堂教学中，渗透数学思想和方法，提高学生的解题意识

在课堂教学中，不断渗透数形结合思想、转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想，体会解题中包含的运动变化、辩证统一、相互转化的哲学观。在解决问题的过程中，体会直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，领悟函数与方程的思想方法；经历运用圆锥曲线定义与性质解决问题的探索活动，积累如何选择合适的数学方法解决问题的经验，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

在课堂教学中，让学生感受到数学活动是充满探索性和创造性的，培养学生对运算的信心和耐心，增强学生利用思维推理获得成功的信念和面对失败的承受力，提高学生思维的严谨性、深刻性、探索性，帮助学生形成反省的品格，从而提高学生学习数学的兴趣。

四、在课堂教学中，加强解题训练，巩固学生的解题意识

学生解题意识形成后仍旧会忘记，要在不断应用中巩固，教师要提供恰当评估和适当的反馈矫正练习，不断强化学生的解题意识。

注意发挥学生学习的主体地位，注重解题后的反思，提高元认知能力。解完题并不意味着解题活动的结束，教师应充分利用这个机会，对求解过程进行再分析，进行思维过程的再暴露，解完不思考，无异于入宝山而空返。

总之，在课堂教学中，交叉运用以上四种方式，着力培养学生的解题意识，树立学生的自信心，学生的解题意识一定会得到提高。

参考文献：

张琥.直线与圆锥曲线[J].中学数学教学参考：上旬，2012（1-2）.

编辑 张珍珍