高考中物理学科有关极值问题的处理方法之分析

朱震文

物理学科极值问题在历年高考理科综合中经常出现，怎样处理极值问题，大部分考生感觉比较棘手，结合多年高三的教学经验，及学生在处理这类问题中存在的疑问，谈一谈这类问题的处理方法。

首先，对极值问题的处理，必须培养学生具有较高的综合问题的处理能力，即既要有比较娴熟运用物理规律处理物理问题的能力，又要有比较高的运用数学方法处理物理问题的能力。在具有这些基本能力的基础上，还应培养学生对极值问题有一个系统的归类分析，大致讲物理学科的极值问题在处理过程中的方法可以分成两大类：物理方法和数学方法。

物理方法就是从物理学的角度，应用物理定义、物理规律对极值问题进行分析判断，找出问题过程中出现极值的时间点或位置点，再应用相应的物理规律列出物理等式加以求解。

物理分析方法有三角形矢量分析法、临界条件分析法等。

方法一：三角形矢量分析法就是应用力的矢量三角形的边角的关系，已知合力的方向和另一分力的大小和方向时，点到直线的垂直距离最小，如图所示：两个分力F1、F2和合力F构建一个矢量三角形，在已知合力F的方向和另一分力F1的大小和方向时，只有F2与合力F垂直时有最小值。

例题1：如图所示，质量为m，带电量为+q的微粒在O点以初速度v0与水平方向成θ角射出，微粒在运动中受阻力大小恒定为f。如果在某方向加上一定大小的匀强电场后，能保证微粒仍沿v0方向做直线运动，试求所加匀强电场的最小值？

试题分析：本题的根本在于确定电场力沿什么方向有最小值，由题意分析可得，只有当电场力与重力的合力与初速度方向在一条直线上，才能达到题中的要求，又由矢量三角形原理可得当电场力方向与v0方向垂直时有最小值，如右图所示。

解答：如图所示，要保证微粒沿v0方向直线运动必须使垂直于v0向斜上方加匀强电场E有最小值，且Eq=mg cosθ，E=mgcosθ/q。

方法二：临界条件分析法就是通过对研究对象的分析，找出物体在研究过程中可能出现的临界条件，再应用相关的物理规律加以求解。

例题2：如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg。现用水平拉力F拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为 .

试题分析：本题的关键是要想使四个木块一起加速，则任两个木块间的静摩擦力都不能超过最大静摩擦力。首先要找出A和B、C和D这两对物体之间，哪一对物体间首先到达最大静摩擦力这一临界条件。由题意可知A和B的静摩擦力仅是B物体产生加速度的动力，而C和D间的静摩擦力是A、B、C三个物体产生加速度的动力，所以C和D这两对物体之间先到达最大静摩擦力这一临界条件。

解答：对A、B、C三个物体作为整体有：fm=4ma，T=3ma，又有：fm=μmg以上各式联立解得T= .

数学方法就是应用物理规律对物理极值问题进行分析之后，确定研究对象及研究过程，列出相关的数学表达式，再应用不同的数学工具加以处理。根据应用不同的数学方法，大致可以从四个方面加以处理。

第一种方法称之为二次函数法：二次函数法就是关于y=ax2+bx+c的应用，根据二次函数的特点，a>0时，图像开口向上，y有最小值；a<0时，图像开口向下，y有最大值。且只有x=- 时，y有最值。

例题3：如图所示，理想变压器输入端接在电动势为ε，内阻为r的交流电压上，输出端接负载R，则变压器原副线圈的匝数比为多大时，负载R上消耗的电功率最大？

解答：设原副线圈的匝数分别为n1，n2，电流分别为I1，I2，电压分别为U1，U2，

则：U1=ε-I1r电阻R消耗的电功率为P=U2I2=U1I1

即P=（ε-I1r）I1=-I 21·r+εI1

可见当：I1= 时，P有最大值Pmax=

此时U1=ε-I1r=ε- ·r= U2= ·U1= · I2= = ·

又因： = 代入I1，I2得： = 。当 = 时，电阻R消耗功率最大。

第二种方法称之为三角函数法：通过设定角度为一函数变量，应用物理规律列出相关的方程，然后加以处理。

例题4：半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场。如图所示，珠子所受电场力是其重力的 倍。将珠子从环上最低位置A点静止释放，则珠子所能获得的最大动能为多少？

解答：设珠子的带电量为q，电场强度为E。珠子在它与电场线的夹角为θ时，珠子所能获得的动能最大，如图所示，则由动能定理得珠子动能的表达式为Ek=qERcosθ-mgR（1-sinθ），

利用三角变换可得：Ek=qERcosθ-mgR（1-sinθ）= mgRcosθ-mgRsinθ-mgR.

令sinφ= ，則cosφ= ，故上式又变换为Ek= mgRsin（φ-θ）-mgR显然，当sin（φ-θ）=1时，Ek有最大值，且Ek= mgR.

第三种方法称之为不等式法：不等式法就是如果两数和为常数，当两数相等时其乘积最大，由xy≤ ，（x>0，y>0）。若x+y=P（定值），则当x=y时，x、y的乘积有极大值。

例题5：如图所示，已知R1=2Ω，R2=3Ω，R3=5Ω，电源电动势ε=6V，电源内阻r=0.5Ω。问：变阻器滑动片在何处时，电源发热功率最小？

解答：设电源发热功率为P，干路电流为I，据P=I2·r，可知：I最小时，P最小。

又因：I= 且知：R外=

根据不等式原理可知：当R1+Rx=R2+R3-Rx时，I有最小值。

即Rx= =3Ω时，I的最小值为Imin=2A得：Pmin=2W

第四种方法称之为导数法：导数法就是应用数学中求导与极值的关系，对物理方程加以处理而求解。

例题6：一轻绳一端固定在O点，另一端拴着一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速地释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到垂直位置过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值。

解答：设绳达到与水平方向为角a时，重力的功率取得最大值，则速度v和重力mg之间的夹角也为a，对小球从A到C由动能定理，则有：mgRsina= mv2，其中R为轻绳长。

由功率定义式P=mgvcosa=mg

对功率P求导：P′=mg =mg =0

容易解得P′=0时，sina= ，即此时P具有极值，考虑到始末两个状态重力的瞬时功率均为0，故在a=arc sin 时，重力的瞬时功率具有最大值。

以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法。在求解极值问题的过程中，首先应对这类问题加以归类分析，确定问题应该使用物理方法还是数学方法的总的解题方向，然后根据题意，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，最终得以求解。

编辑 谢尾合