计算机仿真技术在一种平板折叠桌设计中的应用研究

肖潇

摘要：计算机仿真技术利用计算机科学和技术的成果建立被仿真的系统的数学模型，并根据建立的模型进行仿真，已成为现代家具分析与设计的重要工具。该文利用计算机仿真技术研究了平板折叠桌的优化设计问题，首先我们建立空间坐标系，建立了木条末端点坐标与转动角的关系模型解决了对于开槽长度参数确定的问题；然后研究了折叠桌的稳固性问题，找出满足稳固性要求的约束条件，从而确定了最优参数组合；最后讨论了在客户给定桌面边缘线方程情况下如何进行优化设计的问题。理论分析与仿真结果表明，本文所建立的模型与提出的仿真思路是可行的。

关键词：计算机仿真；平板折叠桌；转动角；结构稳定性

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）03-0202-05

Application Research of Computer Emulation Technique on a Flat Folding Table Design

XIAO Xiao

（Information Engineering Department， University of Xiangtan， Xiangtan 411105， China）

Abstract： The Computer Simulation establishes a mathematical model for a system， utilizing the outcome of computer science and technology， and uses the model to reproduce behavior of the system. It has become a crucial tool for modern furniture analysis and design. In this article， Computer Simulation is used to solve flat folding tables design optimizing problem. First， we set up a space coordinates system， and used the relationship between the coordinate of wooden bar endpoint and the rotational angle to establish a model， which solved the confirmation of slotting length parameter problem. Furthermore， we studied the folding tables stability problem， finding the constraints that meet the required stability， and got the best parametric combination. At the end， we discussed how to optimize the design with a given formula of table top edges from the customer. Theoretical analysis and simulating results indicate that the model in this article and the simulating thinking are both feasible.

Key words： computer simulation； flat folding table； rotational angle； structural stability

平板折叠桌由于使用便携，携带方便、能有效地节省存放和运输空间，甚至还能做得一物多用等，近年来越来越受到人们的欢迎[1]。然而，在平板折折叠桌的设计过程却是非常复杂的，设计的产品除了满足其独特的外观造型设计外，同时还需要设计好能满足使用功能的结构[2-3]。要想设计一款好的平板折叠桌，不论是金属材质还是木制材质，首先必须进行适合的机构设计，以及支持构件位置运动要求的尺寸设计。目前，就我们所知，在市场上平板折叠桌的设计中， 大多数多厂家采用试探的方式进行设计， 虽然试探的方式也能解决一些问题，但也存在难以克服的弊端：1）由于需要反复试探，会产生大量的废品与次品，增大了设计成本；2）试探发设计出来的平板折叠桌，存在不能很好的折拢叠平的情况，这充分说明这种设计具有较大的盲目性，缺乏有效的理论指导。为此，本文尝试采用计算机仿真技术来研究平板折叠桌的优化设计，为厂家生产平板折叠桌提供参考。

本文以某厂家拟生产的平板折叠桌为例进行分析。某厂家计划生产的平板折叠桌，其桌面呈圆形（或椭圆形），桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。在设计该平板折叠桌时需要解决如下几个问题：1）对给定长方形平板尺寸为120cm，宽50cm，厚3 cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm，需要确定此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线等；2）考虑到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数；3）根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。

1 平板折叠桌优化设计模型的建立

为了描述的方面，我们首先进行符号约定： [h]表示为折叠后桌子的高度，[β]表示为转动角，R表示为桌面圆半径，LLi表示为第i根木条的开槽长度，l表示为最长脚木条的长度，di 表示为第i根木条的宽度。

1.1折叠桌高度确定情况下的加工参数模型

首先，我们来考虑单根木条的末端在折叠过程中的运动轨迹。每根木条与圆形桌面利用合页进行连接（铰链），因才每根木条只能绕连接点沿着垂直于桌面平面进行旋转，其末端点的运动轨迹为圆心，以木条长度为半径做圆弧运动。图1描绘了一根木条s的末端从A点运动到B点的过程，圆弧AB即为木条s末端的运动轨迹。

由上述分析可知单根桌腿木条的末端点在折叠过程中的动态变化相对简单，但由于每根桌腿木条的连接点不一样，长度不一样，每一组的桌腿木条用一个根钢筋相连，因此，桌脚边缘线的变化将是十分复杂的。

图1 桌腿脚末端点的在转动过程中的运动轨迹

其次主要考虑加工参数的确定问题。我们第一步得考虑桌腿木条的开槽长度与哪些因素有关，只有去除不相关的因素才能更好的建立模型。然后我们再考虑木条数量对哪些参数有影响以及“脚角”与钢筋链接位置变化情况等。

最后，我们将钢筋连接点与边缘线等构成一定关系，得出我们所需要的模型。

由题目所给出的已知条件其中由桌子一旁的钉钢筋的两个点所在的连线上的点，由于折叠桌子具有严格的对称性，因此只考虑桌子半边的变化情况。为了建模的方便，我们首先需要定义平板折叠桌的坐标系统，其坐标系统定义如下：

图2 折叠桌的坐标系统 图3 坐标的标号方式

如图2所示，以桌面圆心为坐标系原点，以过桌面圆心且与用于固定桌腿木条的钢筋平行的直线为x轴，以过桌面圆心且与x轴垂直的线为y轴，以过桌面圆心并且垂直于桌面平面的直线为z轴，建立了坐标系。

在上述坐标系中，可以求得每一组桌腿与桌面连接点中心的坐标。如图3所示，用[x1，x2，…，xn]表示连接处的x坐标，用[y1，y2，…，yn]表示连接处的y坐标，其中n表示每一组桌腿木条的数量。由上述分析和题意可知一组桌脚木条与桌面连接点的坐标计算公式为：

[xi=R-0.5di-（i-1）diyi=-R2-x2izi=0]

式中R为桌面圆的半径，[di]为每根桌腿木条的宽度，其中i=1...n。

了描述的方便，我们给出如下的定义：

定义1（转动角）：将每组桌腿木条与桌面平面的夹角称之为转动角，并记为[β]。

下面我们将给出每根桌腿木条与钢筋连接处的坐标：

[x'i=R-0.5di-（i-1）diy'i=-cosβ×l/2z'i=-sinβ×l/2]

式i=1...n，l表示第一根木条的长度。

为了能得到桌脚边缘线的数学描述，需要建立每根桌腿木条末端的坐标与转动角的数学模型。

图4 桌腿木条的几何关系图

如图4所示，第i根木条AD交钢筋于C点，AE为桌面平面内的直线垂直于x轴于E点，CB垂直AE。显然有：

[sin∠CAE=BDAC=sinβ×l/2（xi-x'i）2+（yi-y'i）2+（zi-z'i）2]

用[θi]表示[∠CAE]，即：

[θi=arcsinsinβ×l/2（xi-x'i）2+（yi-y'i）2+（zi-z'i）2]

综上所述，我们即可得到第i根木头末端的坐标与转动角关系的数学模型：

[x''i=R-0.5di-（i-1）diy''i=yi-（l-yi）*cos（θi） if yi

下面我们进一步讨论，如何确定每根木条的开槽起始位置与长度。由上述分析可知，当转动角[β]最大时，每根木条的末端点离与钢筋连接点最近，因此当转动角[β]最大时每根木条与钢筋的连接点的位置为开槽的起始位置。同样，当转动角[β]最小时，每根木条的末端点离与钢筋连接点最远，因此当转动角[β]最小时每根木条与钢筋的连接点的位置为开槽的结束位置。

令ki为木条i的末端距离开槽起点位置的距离，ki为木条i的末端距离开槽结束位置的距离，则：

[ki=l+yi-（xi-x'i）2+（yi-y'i）2+（zi-z'i）2]

[k'i=l/2]

那么木条i的开槽长度[LLi]为：

[LLi]=[（xi-x'i）2+（yi-y'i）2+（zi-z'i）2-l/2-yi]

1.2考虑稳固性与成本的加工参数模型

由于折叠桌立于地面的稳固主要依赖于着地的四个脚，其余未着地的部分可以近似看成在相应特定位置的悬空，而这些特定位置却不需要逐个精细地求，因为它们位置的形成是由于钢筋穿过各个木条的不变形以及根据力平衡和力矩平衡：从中间往两边分析，里面木条对钢筋的作用力逐渐积累，由于木条受力平衡，可知从里往外的第一根木条把自身重力及桌面压力作用到钢筋上，受到钢筋的支持力，则钢筋受到其反作用力；钢筋把受到第一根木条的作用力又作用到从里往外的第二根木条上，第二根木条把自身重力和桌面压力与钢筋对其作用力作用到钢筋上，由此可见，把第一第二根木条看成整体可以简化运算，并以此类推，将除最长的木条外所有的木条看成一个整体。最后，全部归结到最外侧的木条上，对其进行受力分析，再利用力矩平衡来确定钢筋的点的位子，即可确定桌脚与水平地面的夹角；再由[sinβ=h/l]可根据顾客要求的高度和直径大小来做出桌子的稳固性。根据桌子稳定性的约束条件，在加工方便的情况下，以用材最少为目标优化问题。

假设应客户要求，给定桌面的高度[h]和桌面的宽度[D]，所以在最省材料时不能从宽减少，只能从木板的长来考虑减料问题；则在固定一点的钢筋位置时有桌脚，则要使木板越短，即就是使桌角越短就越省料，则这样的话就是桌脚与水平地面的夹角就越大。下面我们首先进行稳固性分析。

1）稳固性分析

在固定桌脚与水平面的夹角时分析有，钢筋越高，中间木条的开槽长度越低固定钢筋的位置，肯定要大于桌面的半径。本文就以其中的一个脚受力分析，由上图中分析不同方向不着地的木条对钢筋的受力，然后再有一个角的木条对钢筋的作用力传送到最外边着地的木条上，图6是分析上图中1木条的受力情况，图7为木条2的受力情况。

图5 木头1的受力情况 图6 木头2的受力情况

由图5和图6的受力分析可知每一条木条对钢筋的作用力与其对钢筋的水平夹角有关，和其受到的自身的重力[mig]有关，[mi]为第i根木条的质量，g为引力常量，G为桌面的重力，G/n为每根杆受到桌面对其竖直向下的力；假设折叠后有n根木条数，则有原来的木条数为n/2根。则有每根不着地的木棒对钢筋的受力为：

[Fi=G/n+migcosθi]

其方向与钢筋最小夹角[θi]有关。由在四角中不同方向的木条对钢筋的合力竖直向下设为F，即：

[F=i=1nG/n+migcosθi]

再对最外的木条受力分析，根据力矩平衡原理来确定钢筋的固定点，设钢筋到铰链的距离为[s]；l为最外边木条的长度；[β]为最外木条与水平地面的夹角；[F1，F2，F3]分别为最外木条受桌子的压力，不着地的木条对钢筋的合力，自身的重力沿杆上的分力；[FN]为地面对杆的支持力；[FS]为三个分力合力沿水平面的分力；[F'1，F'2，F'3]桌子的压力，不着地的木条对钢筋的合力，自身的重力垂直于杆的分力；如图7所示：

图7 最外的木条受力分析

分别为建立下列关系式：

[F1=（G/n）sinβF2=FsinβF3=mgsinβ]

[FN=F1+F2+F3sinβFS=F1+F2+F3cosβ]

则有力矩[J]：

[J=2F1+F2+F3cosβ?sinβ?l]

再由垂直于杆的力为：

[F1'=（G/n）cosβF2'=FcosβF3'=mgcosβ]

由于[F'1]在支点所以没有作用；则产生的力矩为：[J2'=F'x]，[J3'=F3'?0.5l]

下面，计算支点到钢筋点的过程，由力矩平衡原理有：

[J=J2'+J3']

[2F1+F2+F3cosβ?sinβ?l=F'x+F3'?12l]

[x=（2（G/n）+F+mgsinβ2l-0.5l）/F]

[x=2G/n+i=1nG/n+migcosθi+mgsinβ2l-0.5li=1nG/n+migcosθi]

综上所述，平板折叠桌达到稳固的条件为：

[x≥2G/n+i=1nG/n+migcosθi+mgsinβ2l-0.5li=1nG/n+migcosθi]

2）优化模型的建立

假设长方形平板的长为a，宽为b（即桌面直径），最长木条的长度为l，平板桌展开后的高度为h，被看作整体的中间所有木条所承载桌面压力占所有木条承载桌面压力的比重为r，整个桌子的重力为Mg，桌面的重力为mg，钢筋对木条的支撑力为N，最长木条的重力为[m'g]，桌面的面积为[s1]，木条的宽度为[b']，钢筋位置到与桌面连接点的距离为x，木条根数为n。

由题意可知，优化设计平板折叠桌的主要目标是在满足稳固性要求的前提下，使得加工方便用料最少。由于折叠桌受到宽度的制约，一旦用户宽度的要求确定，其平板的宽度也就确定了因此只有长度才是决策变量，因此追求用料最省，实际上就是要求平板的长度越短越好，这就构成了第一个优化目标；有题意可知加工方便实际上是指木条数越多加工难道越大，因此追求加工方便就是要求木条数越少越好，这就构成了第二个目标。

1.3 根据客户需求确定加工参数确定模型

该模型需要解决如何根据折叠桌的高度、桌面边缘的形状大小和桌脚边缘线的大致形状等，确定平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，从而满足客户的需求。

实际上，我们只需要在上述2个模型的基础上继续完善数学模型，将模型转换为带坐标的方程格式，将其余的设计参数设置成桌高、木条数、边缘线坐标等的方程，形成一系列数量关系式，达到只要我们将客户需求的数据输入关系式，就会得出一组设计参数。最后就是随便给一组数据（客户需求）设计一款成品。

2 仿真过程与结果

本节主要讨论在matlab7.0的环境下，如何根据上述建立的模型进行仿真，从而能有效地求出相应的加工参数。

2.1 折叠桌高度确定的加工参数优化仿真

我们根据建立的模型，设计如下的仿真的步骤如下：

Step1：建立空间坐标系，利用建立的模型计算出每根木条与桌面连接点的坐标；

Step2：利用建立的模型计算出每根木条与钢筋连接点的坐标；

Step3：利用建立的模型计算出每根木条与桌面所在平面的夹角；

Step4：利用建立的模型计算出每根木条末端的坐标；

Step5：利用建立的模型计算出开槽的起始位置和结束位置，从而计算每根木条的开槽的长度。

相应参数的设定如下：初始数据为桌面半径R=25，di=2.5，l=57.5.

仿真结果如下：当转动角为60度时得到的桌脚边缘线如图8所示，当转动角从60度开始每次递减10度直到10度时结束所得到的桌脚边缘线动态变化过程如图9所示，得到对应的卡槽长度，从第一块木头到第二十块木头依次为：0， 9.347， 12.7778， 15.5722， 17.8629， 19.7126， 21.1586， 22.225， 22.9279， 23.277， 23.277， 22.9279， 22.225， 21.1586， 19.7126， 17.8629， 15.5722， 12.7778， 9.347， 0. 由折叠桌子的运动状态，可以看出折叠桌子在拼接的过程中小木条是按着一定的角度在随着钢筋旋转，最终达到稳固状态，我们求得折叠桌在拼接后的每个小木条桌角的旋转的角度，在此期间桌角形成了一个上升抛物线的形式，并得到了每个并计算了折叠桌的设计加工参数如卡槽和每根小木条的槽长度等。在此基础上我们利用计算所得倒的参数重建平板折叠桌，充分地体现了本文建立的模型是正确的、合理的、也是与实际贴近的。

图8 平板折叠桌设计效果图 图9 桌脚边缘线动态变化图

2.2考虑稳固性与成本的加工参数优化仿真

根据第二个模型我们可以计算得到如下的参数。首先，由力平衡可得[Mg/4=N+m'g+1-rmg/4]，由力矩平衡得[Mg?l/8+1-rmg?l/8=Nx]，其中：[m'g=Mg/2n]，[mg=s1Mg/ab]，[s1=π?（0.5b）2]，[r=mg/Mg]，[sinα=h/l]，[n=b/b']，所以各木头的长度[a=2l+2b']。

在分析确定钢筋的位置时，关键在于稳定性，[x]要大于桌面的半径但小于最短木条的最低开槽口的位置，且根据力平衡有[a=2l+2b']，[x=2h2/l]（其中[b']为木条的宽度，设定为[2.5cm]）。当[h=70cm]，[b=80cm]时，求得[a=175cm]，[x=52.71cm]。仿真所确定的最优设计加工参数为：平板尺寸175*80[cm]，钢筋距离铰链位置52.71cm，每根木头的开槽长度分别为10.64， 19.46， 25.74， 30.81， 35.08， 38.72， 41.87， 44.58， 46.9， 48.88， 50.54， 51.9， 52.97， 53.76， 54.28， 54.55.

2.3 根据客户需求确定加工参数确定模型

我们假定客户所给出的折叠桌的高度、大小应该是一个具体的值，客户所给出桌面边缘线的形状和桌脚边缘线应该有具体的方程。为此，我们将按如下的思路来确定加工参数。

首先为了保证如何才能实现尽可能地接近客户所期望的形状，本文提出了如下的仿真步骤：

Step1：按第一个模型中的解决思路，根据桌面边缘线方程，计算出桌脚木条与桌面连接点的坐标；

Step2：根据客户给定的桌脚边缘线方程确定每根木条末端点的坐标；

Step3：根据每根木条的桌面连接点的坐标与每根木条末端点的坐标的，计算机每根木条的直线方程；

Step4：将所有的木条的直线方程投影到y轴和z轴所确定的平面；

Step5：在y轴和z轴所确定的平面计算直线投影的交点，并计算所有交点的加权平均交点（[y，z]）；

Step6：依次将（[x1，y，z]），（[x2，y，z]），...，（[xn，y，z]）作为第一根木头、第二根木头等等与钢筋的连接点，并重新确定木头的直线方程；

Step7：根据木头的长度和直线方程即可确定末端点的坐标。

关于最优加工参数问题，由上述分析可知，虽然钢筋固定的位置已知，但平板的长度，开槽的长短等加工参数仍需要优化，因此我们在第二个模型的基础上建立了如下的模型优化平板的长度与开槽的长短等加工参数：对于平板长度，因钢筋位置固定、桌子高度已知，木条所转的角度与木条的长度存在一个调节关系，又基于桌子整体的稳固性考虑，可以确定木条的一个最佳转角，初步确定木条的长度，进而，根据最佳转角的确定原理（最佳转角下桌腿构成的面积最大内接于椭圆面）综合确定木条的长度，给出平板尺寸；对于开槽的长短，基于第二问以及前面平板尺寸的确定，得到各木条的开槽范围，从中筛选最贴近已知的钢筋位置，进而调整确定最终的开槽范围。

为了验证建模型的正确性和合理性，我们假定用户期望的桌面边缘线为一个椭圆，即：

[x2a2+x2b2=1]

桌脚边缘线为一个抛物线，即：

[x=2pt2y=2pt]

假定客户要求椭圆形桌面的长为80，宽为60，高为50，我们得到设计的平板折叠桌的效果图如图11所示，椭圆形桌面的折叠桌的桌脚边缘线如图12所示，不同转动角下椭圆形桌面折叠桌的效果图如图12；同时假定平板的宽为40，长为120，得对应第1至第20根木头的卡槽长度分别为：0， 17.9812， 22.5390， 26.3449， 29.4869， 32.0279， 34.0137， 35.4772， 36.4409， 36.9194， 36.9194， 36.4409， 35.4772， 34.0137， 32.0279， 29.4869， 26.3449， 22.5390， 17.9812， 0.

4 结论

本文利用计算机仿真技术研究了平板折叠桌的优化设计问题，通过建立空间坐标系，建立了木条末端点坐标与转动角的关系模型解决了对于开槽长度参数确定的问题；然后研究了折叠桌的稳固性问题，找出满足稳固性要求的约束条件，从而确定了最优参数组合；最后讨论了在客户给定桌面边缘线方程情况下如何进行优化设计的问题。本文较好地建立了桌面旋转角和桌边缘点位置的函数模型，并有效的对桌运动过程动态的描述，仿真结果与实际的运动状态很符合，这表明本文所建立的模型与提出的仿真思路是可行的。

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