复杂网络模型的动力学性质分析

赵雪茹，丁 亮，牛 蕾

(东北林业大学)

0 引言

给出这样一个由N个相同节点构造成的具有连续时间耗散耦合星型网络系统，由于各节点在信息传输的过程中存在阻力、惯性等，就出现了一个时间滞后的现象，不妨假设这些内耦合函数都存在时间延迟τ，那么第i个节点的运动方程为:

1 星型网络模型的动力学性质研究

当τ=0时，第i个节点的运动方程为:

在条件R1:N∈Z+，N≥1;a＞0;η＞0下，特征方程为

下面进行零解稳定性探究.

对于方程(1):

方程(2)有N重根:λ3=－a－η.

定理1.1 在条件R1下:当时，那么系统的零解是渐近稳定的.

证明 对于方程(1)要使方程具有两个严格负实数的根，则有:

最后可得当η＞0，对任意的a＞,方程(1)的λ1，2＜0，当η＞0，如果对任意的0，那么λ1和λ2中至少有一个大于0.对于方程(2)，要使得λ3＜0，得a＞－η，即a＞0，根据时滞微分方程的稳定性理论可知，系统零解渐近稳定的充分必要条件是，方程(1)和方程(2)的所有根都有负实部，联立求解方程组，结论得证.

2 复杂网络模型的Hopf分支分析

由于各节点在信息传输的过程中存在阻力、惯性等，就出现了一个时间滞后的现象，而且这种时滞行为本身会影响到系统的现状，设这种延迟都为τ＞0，得到延迟网络模型的运动方程为:

延迟模型的特征方程为:

其中:τ≥0;N∈Z+，N≥1;a＞0;η≠0(H1)对于方程(3)，在条件H1下，从方程可得:

当τ＞0时，令λ=iβ(β＞0)是方程(4)的纯虚根，则:

可得到β满足方程:β8+q1β6+q2β4+q3β2+q4=0

其中 ，q1=4a2－N2η2，q2=6a4－2η4－3N2η2a2－ 2N2η4

那么β2是四次方程的正根.

引理2.1 若方程(8)有一个正根β2i(βi＞0)，则当β=βi时，方程(7)有实根因此当

其中

方程(4)有一对纯虚根±iβn.

引理 2.2 方程(4)在τ=τj=领域内有一对复根λ(τ)=α(τ)±iβ(τ)存在且Z，当L(β，τ)＜0，因此在τ=τj穿过虚轴，发生hopf分支.

对方程(5)进行分析，解得

定理2.1 在条件H1下，且|η|＞a，当τ=τ1时，方程(10)有一对纯虚根λ=±iβ1其中

证明 假设iβ1(βi＞0)是方程(6)的解，通过分离实部和虚部，得

令λ(τ)=α(τ)+iβ(τ)满足α(τ1)=0，β(τ1)=β1是方程(10)的根，且有τ1=

定理2.2 在条件H1下，有

证明 将λ(τ)=α(τ)+iβ(τ)代入方程(10)，对τ求导得

将λ=±iβ1代入上述方程，并将β1和τ1替换β和τ，则有

结论得证.

定理2.3 设N∈Z+，N≥1;a＞0;η≠0，且|η|＞a，且τ*由式(9)给出，τ1由式(11)给出，记τs=min{τ*，τ1}，则当τ∈［0，τs)模型的零解渐近稳定的，当τ=τs，系统产生小振幅的周期解，当τ＞τs时，复杂网络模型系统零解是不稳定的.

3 复杂网络模型数值仿真

在这一节里通过运用Matlab对星型网络模型进行数值仿真，通过数据和图像来验证其动力学性质.

(1)当N=4，a=1，η=3时，通过求解计算比较最后取得τs=0.6755，取初值［0，－ 1，2，1，－ 2］'，其结果如图1、图2所示.

图1 τs=0.1系统的零解稳定图像

图2 系τs=0.6755统产生周期解的图像

(2)当N=2，a=2，η=3.5时，最后取得τs=0.9104，初值为［0.1.－1］'，其结果如图3、图4所示.

图3 τs=0.002时系统的零解稳定图像

图4 系统产生周期解的图像

(3)取N=4，a=2，η=4 时，得τs=0.5895，取初值［0，0.1，－0.1，0.2，－0.2］'结果如图5、图6所示.

图5 τs=0.04时系统的零解稳定图像

图6 τs=0.5895时系统周期解的图像

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