等价思想在极限方面的应用

王劲松

摘 要：等价思想是数学理论中的一种重要思想，是数学理论的基础之一。这种思想有助于帮组学生开拓思维，并且能够增强对新事物的理解和掌握。这有助于强化学生处理各种数学方面问题的能力。等价无穷小代换是计算极限的一种常用，简单的方法，通过等价无穷小的代换思想可以将极限中的很多问题化繁为简，化难为易。本篇文章中，我们将对等价思想在极限中的应用进行总结，为读者整理出一些规律。

关键词：等价、极限、代换

1 引言

等价思想是数学学习的重要方法，也是一个重要的技巧。在高等数学中，学习的知识比较冗杂，学生在记忆大量的公式的过程中会遇到较大的困难。于是，我们可以在学习极限的过程中提出等价这一概念。利用等价代换的思想减少公式的记忆量，从而降低运算的复杂度，提高运算的精准度。

等价转化思想有助于强化学生处理各种数学方面问题的能力。等价无穷小代换是计算极限的一种常用，简单的方法，通过等价无穷小的代换思想可以将极限中的很多问题化繁为简，化难为易。

2 正论

在求解极限问题上，我们实际上有很多种方式，比如利用极限定义、四则运算、两个基本原则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形、洛必达法则、泰勒公式等等。其中，等价代换是计算量最小，运算最为简便的。

所谓等价转化，就是一种体现“将解法未知的问题划归到已有的知识范围之内，并将其求解”的策略之上。其中，划归转化的方式又分为等价转化与非等价转化两种，我们在这里所讲的主要是等价转化，即转化过程中的前因后果既充分又必要的转化过程。

3 无穷小与等价无穷小

无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f（x）与0无限接近，即f（x）→0 （或f（x）=0），则称f（x）为当x→x0 （或x→∞）时的无穷小量。

那么无穷小是如何比大小的呢？

假设a，b都是0limxx→时的无穷小，如果0lim=ab，就说b是比a的高阶

无穷小。如果∞=ablim，就是说b是比a的低阶无穷小。

比如21bx=，1ax=，x→∞的情况下，通俗的来讲，b时刻都比a更

快地趋于0，所以称做a是b高阶；有101xc=，那么c比a，b的阶数都要

高，因为c更快地趋于0。如果lim（0）0bccka=≠>，，就说b是关于a的

n阶的无穷小， b和an是同阶无穷小。

从以上无穷小的比较里可以知道，如果cabn=lim，就说b是a的n

阶的无穷小，b和an是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即1lim=ab，则称a和b是等价无穷小的关系，记作ab。

4 利用等价思想进行代换

所谓等价代换，主要是要使用一些已知的等价量，对于复杂式子中的某一乘除项进行代换，从而降低计算式的整体难度。例如以下例题：

【例题1】20cos1limxxx.→

这道例题大家看到会感觉到很熟悉，在极限中有很多是以这种题型为母题进行研究，但是我这里为什么会列举出来？很简单我们知道1-cosx～x2/2，所以这道题很容易就看出来答案是1/2。我举的这个例子就是最简单的等价代换的例子，在这里大家需要记住几个等价代换的式子：

（1）sinx～x

（2）tanx～x

（3）1-cosx～x2/2

（4）arcsinx～x

（5）（1+x） α-1～αx

（6）ln（1+x） ～x

（7）ex-1～x

等等一系列的关系式，这个是需要大家熟记的。

5 等价思想的适用情况

值得注意的是，我们在上文中所讲的代换，在式子中仅能针对乘除项。对于加减项来讲，是不能够随意使用的。例如下面的这道例题：

【例题2】xxxx5sin2sin3sinlim0+→

我们来看第一种解法：

7373lim523lim5sin2sin3sinlim000==+=+→→→xxxxxxxxxxx

第二种解法：

735cos52cos23cos3lim5sin2sin3sinlim00=+=+→→xxxxxxxx

兩道题的答案相同，到底是哪个对呢？这需要我们认真的分析一下。

第一种解法使用的是等价的思想。虽然从结果角度，两种方法的计算结果是相同的。但是，在第一种方法里，分母项的等效替换没有遵守替换只能代替多项式中的乘除项而不能使用加减项的原则。在加减项中使用无穷小等价替换时，最大的问题在于需要考虑在同一因子下的其余加减项是否有相同的变化性质，如果没有，则计算结果就会出现偏差。本题中的结果相同是因为在同一因子内都是可以使用相同类型的等价替换的，所以显示出的结果是没有变化的，但实际上，使用这种方法是错误的。

第二种解法运用了罗必塔法则，对分子分母分别求导，这样我们可以得到上述式子的第二步，并且将0带入时，我们都知道cos0=1因此，只需要一步就可以解出上述式子。

通过对上面两道题的分析，我们可以得出结论，等价思想不适合于加减法，而仅仅适用于乘除法之中。具体的运用方式，还需要大家深刻的理解还有多方面掌握数学知识。

6 复杂的等价代换举例

面对一些在极限复杂的题型时（例如根号，开方等等），很多同学都不知道应该如何下手，经常出现盲目下手的现象，要不就是用罗比达求导法则计算。使用洛必达法则虽然过程比较简单，但是计算量过于庞大，在计算结果的过程中很容易出错，多次求导后，可能中间会有失误的地方导致计算失败。例如下面例题：

例3：3321ln（11）limarcsin21xxx→+..

第一种解法：

32333211223322111311（1）ln（11）limlim111arcsin21223（1）1（21）xxxxxxxxx→→..+..+.=........

331233221411lim1142（1）1（21）xxxxx→+.==..+..

第二种解法：

因为：x→1时，310x.→，3210x.→

所以：x→1时，33ln（11）～1xx+..，3322arcsin21～21xx..

所以：

333333322111ln（11）1114limlimlim=4122arcsin2121xxxxxxxx→→→+..===+..

对比以上两种方法，显然使用等效代换思想进行计算的过程要更加简单，在应试过程中，可以很好地节省时间和提高计算准确率。通过这道例题，大家可以发现，我们可以利用简单的等价思想，将一道需要要好多遍罗必塔法则的题简化，利用化繁为简的思想，逐步把自己的解题能力提升一个高度，也锻炼自身的发散能力。因此，掌握这种方法，会更好的使自己掌握解决这类问题的方法。

7 结论

以上是等价思想在极限解题中的应用。总而言之，在极限问题中，适当运用等价转换的方式，可以使内容更加简洁，分析问题也更加简单。无论是从培养学生的应用思维还是基本能力，都是非常适合的。在数学的教学过程中一定要注意的是思想的渗透，让学生有深刻的记忆了解，大学课堂不仅仅教会学生的是一种解决问题的思路，更是教给每位学生以后学习的一种方法。让学生熟悉更种思维，更能大程度的提高学生的解题能力和数学方面的素养。