Gainse-Rescher 逻辑系统中子代数的广义矛盾式＊

2015-08-27 08:28李顺琴惠小静

贵州大学学报(自然科学版) 2015年2期

李顺琴，惠小静

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

自1998 年王国俊教授建立了修正的Kleene系统和修正的Kleene 系统中的广义重言式理论［1，2］后，其他多值逻辑系统中的广义重言式理论也在蓬勃发展［3-12］。吴洪博教授在广义重言式概念的基础上提出了广义矛盾式的概念，并讨论了多值逻辑系统中的广义矛盾式理论［3-6］。本文在文献［6］的基础上讨论了Gainse-Rescher 逻辑系统中序稠密子代数的广义矛盾式，并利用可达广义矛盾式概念在的序稠密子代数中给出公式集F(S)中广义矛盾式的一个分划。

1 基本知识

定义1［1］设S = {p1，p2，…}是可数集，¬ 是一元运算，∨与→是二元运算，由S 生成的(¬ ，∨，→)型自由代数记作F(S)。F(S)中的元素叫公式或命题，S 中的元素叫原子公式或原子命题。定义2［6］在［0，1］中规定:α ∨β = max{α，β}，

则［0，1］成为(¬ ，∨，→)型代数，称之为连续值Gainse-Rescher 逻辑系统，记作。

本文中提到的子代数都是指序稠密子代数，在不致引起混淆时将其简称为子代数。

v(¬ A)= ¬ v(A)，

v(A ∨B)= v(A)∨v(B)，

v(A →B)= v(A)→v(B)，

则称v 为F(S)在E 中的赋值，其全体赋值之集记为Σ(E)。

(ⅰ)若∀v ∈Σ(E)，v(A)≥α(v(A)＞α)，则称A 为E -α - 重言式(E -α+- 重言式)，其全体之集记为α - T(E)(α+- T(E))。

(ⅱ)若A ∈α - T(E)，且∃v ∈Σ(E)，v(A)= α，则称A 为可达E - α - 重言式，其全体之集记为［α］- T(E)。

(ⅲ)若A ∈α+-T(E)，且∀ε ＞0 ，∃vε∈Σ(E)，使得α ＜vε(A)＜α + ε，则称A 为可达E- α+- 重言式，其全体之集记作［α+］- T(E)。

特别地，E -1 - 重言式简称重言式，其全体之集记为T(E)。

以上定义的各种重言式统称为广义重言式，在不致引起混淆时前缀“E - ”将略去。

2 系统Gr 的子代数的广义矛盾式

定义6 设E 是Gr的子代数，∈E。

(ⅰ)若∀v ∈Σ(E)，v(A)≤α(v(A)＜α)，则称A 为E -α - 矛盾式(E -α-- 矛盾式)，其全体之集记为α - C(E)(α-- C(E))。

(ⅱ)若A ∈α - C(E)，且∃v ∈Σ(E)，v(A)= α，则称A 为可达E - α - 矛盾式，其全体之集记为［α］- C(E)。

(ⅲ)若A ∈α--C(E)，且∀ε ＞0 ，∃vε∈Σ(E)，使得α - ε ＜vε(A)＜α，则称A 为可达E- α-- 矛盾式，其全体之集记作［α-］- C(E)。

引理1 设E 是Gr的子代数，映射φ1:E →{0，1}∪((1 - α，α)∩E)定义为:

那么φ1是E 与其子代数{0，1}∪((1 - α，α)∩E)之间的一个同构映射，因而也是一个同态映射。证明由命题1 知{0，1}∪((1 - α，α)∩E)是E 的子代数，又显然φ1是一对一的保序映射，因此φ1保持∨运算和→运算。

下面证明φ1保持¬ 运算。

(ⅰ)当x = 1 时，φ1(¬ 1)= φ1(0)= 0 =¬ φ1(1)。

(ⅱ)当x = 0 时，φ1(¬ 0)= φ1(1)= 1 =¬ φ1(0)。

(ⅲ)当x ∈(0，1)∩E 时，

所以φ1(¬ x)= ¬ φ1(x)。

因此由(ⅰ)-(ⅲ)可知φ1保持¬ 运算。

综上所述知，φ1是E 与其子代数{0，1}∪((1 - α，α)∩E)之间的一个同构映射。

类似可以证明以下引理成立:

引理2 设E 是Gr的子代数，，映射定义为:

那么φ2是E 与其子代数α，1］)∩E 之间的一个同构映射，因而也是一个同态映射。

命题1 设E 是Gr的子代数，α，则

定理1 设E 是Gr的子代数，则α - C(E)= C(E)。

证明由定义6，显然有C(E)⊂α-C(E)。以下证α - C(E)⊂C(E)。

设A ∈α - C(E)，则∀v ∈Σ(E)，v(A)≤α。因此v(¬ A)= ¬ v(A)= 1 -v(A)≥1 -α，又

由命题2 可知¬ A ∈T(E)，从而A ∈C(E)，所以α - C(E)⊂C(E)。因此α - C(E)= C(E)。

设A ∈α - C(E)，则∀v ∈Σ(E)，v(A)≤α。因此v(¬ A)= ¬ v(A)= 1 -v(A)≥1 -α，又因为，那么由命题1 可知，即v(¬ A)≥，那么v(A)≤，从而A ∈- C(E)，所以α -C(E)⊂- C(E)。因此α - C(E)=-C(E)。定理 3 设 E 是的子代数， α ∈

命题3 设E 是Gr的子代数，，则α+- T(E)= T(E)。

证明若A ∈T(E)，显然有A ∈α+- T(E)。又若A ∈α+- T(E)，则∀v ∈Σ(E)，v(A)＞α。由引理1 可知φ1v:F(S)→{0，1}∪((1 - α，α)∩E)是同态的复合，因此φ1v ∈Σ(E)，进而φ1v(A)＞α 且φ1v(A)∈{0，1}∪((1 - α，α)∩E)，故φ1v(A)= 1 ，由φ1的构造知v(A)= 1 ，因此A ∈T(E)。

用类似的方法结合引理2 可证命题4:

则α-- C(E)= C(E)。

证明由定义6，显然有C(E)⊂α-- C(E)。以下证α-- C(E)⊂C(E)。

设A ∈α-- C(E)，则∀v ∈Σ(E)，v(A)＜α，因此v(¬ A)＞1 - α，因而¬ A ∈(1 - α)+-T(E)。又因为，所以1 - α ∈

用类似的方法结合命题4 可证定理5:

定理5 设E 是Gr的子代数，若则α-- C(E)=- C(E)。

证明由定义6 知集族中任意两成员之交为空集，且由定理3，定理6 可知它们的并是F(S)，因此只需验证它们非空即可。