无磁场参与的时变电场

焦重庆

(华北电力大学电气与电子工程学院，北京 102206)

0 引言

本科“电磁场”课程中，时变电磁场相关的教学内容一般包括了电磁辐射、电磁波在自由空间及导波结构中的传播以及准静态电磁场等方面［1-4］。在电磁辐射和电磁波的传播问题里，电场和磁场是作为一个相互耦合的整体考虑的。在准静态场的求解中，通常忽略电场和磁场二者之间的耦合，但在理论上，这种耦合还是存在的，只是弱到可以忽略不计。

那么，有没有单独存在时变电场，而不存在伴随磁场，或单独存在时变磁场，而不存在伴随电场的情况?对于后者，答案显然是否定的。依据法拉第电磁感应定律，时变磁场是电场强度的唯一旋度源。时变磁场的存在，就意味着感应(涡旋)电场的存在。对于前者，答案似乎不能如此直接得出。因为时变电场对应的位移电流和自由电荷运动对应的传导电流(此处不考虑运流电流)是磁场强度的共同旋度源。因此，需要考察这两种电流有没有完全相抵的可能性后，才能对此问题给出判断。

本文对前者给出了肯定的答案，相关的理论分析见第1小节，具体的物理模型见第2小节。

1 理论分析

时变电场对磁场的作用由全电流定律表述

式中，H为磁场强度，J为传导电流密度，D为电位移矢量，t为时间。若纯粹的时变电场存在，则H始终为零。因此有

欲使上式成立，传导电流密度不能为零(在有电场存在的地方)。因此，需假设媒质为导电性媒质。假设该媒质的介电常数和电导率分别为ε和σ。依欧姆定律微分形式有J=σE，再结合本构关系 D=εE，有

式中τ=ε/σ为导电媒质中电荷弛豫的时间常数，由此可得

式中，E0为t=0时刻的电场强度。

由于假设不存在磁场，所以有

由式(4)和(5)有

由电场的高斯定律不难得出，电荷密度ρ随时间的演化也满足指数衰减

式中，ρ0为t=0时刻的自由电荷密度。ρ0和E0的关系由高斯定律表述

从式(4)和(6)可以看出，纯粹的时变电场具有时间上指数衰减、空间上同静电场分布的特点。

2 实例

式(7)容易使我们想起“电磁场”教材上介绍的电荷弛豫现象［1-4］。由此，我们先考察第一个实例，如图1所示。一个半径为a的导体球，初始时刻其表面均匀分布有自由电荷(面电荷密度ρs0)。导体球外为介电常数和电导率分别为ε和σ的无限大均匀媒质。在t=0时刻撤去外加平衡力的作用后，电荷之间由于库仑力的作用开始相互排斥，出现电荷弛豫过程。此时，电荷离开导体球表面后沿径向运动，导电媒质中出现传导电流，导体球表面的电荷密度则不断减少。

不难得出，球体表面电荷密度ρs和空间的电场强度E的表达式分别为

图1 处于无限大均匀导电媒质中的带电导体球

式中，r和er分别代表以球心为坐标原点的球坐标系的径向坐标及其单位矢量。另外，通过本构关系可以得出J和D的表达式，导电媒质中的体电荷密度始终为零。不难验证，上式(9)-(11)再结合H=0和B=0，能精确满足整个麦克斯韦方程组及导体球表面的边界条件。

如果说实例1要求无限大媒质，属于现实中难以实现的理想情况。我们可以进一步考虑图2给出的实例2。此时。在内、外半径分别为a和b的同心导体球内，填充介电常数和电导率分别为ε和σ的均匀媒质。假设初始时刻有自由电荷均匀分布在内、外表面，且总量分别为q和-q。

图2 内部填充均匀导电媒质的同心导体球

在t=0时刻撤去外力，电荷弛豫过程开始，不难得出如下的时变电场可以精确满足麦克斯韦方程及边界条件

(1)在两球之间的区域

且导电媒质中的体电荷密度始终为零;

(4)在两球之间以外的区域，电磁场均为零。

实例2给出的模型要求高度的空间对称性。实际上，我们可以放宽这种对称性。图2中，内、外表面的形状可以是任意的，但对表面分布的自由电荷有如下要求:内、外表面分别为等电位面。此外，如果媒质是分区均匀的，则要求所有媒质具有相同的电荷弛豫时间常数。

在上述纯粹的时变电场情况下，坡印廷矢量为零，因此不存在电磁能量的流动，而空间储存的电场能量又在随时间而衰减。究其原因，由于传导电流与位移电流处处抵消，因而空间储存的电场能量就地通过欧姆损耗完全转化为热能。

3 结语

本文先通过理论分析，得出了纯粹的时变电场可以存在的结论，前提是要求时变过程中各处的全电流处处为零，即传导电流与位移电流处处抵消(在不导电的区域，要求两者均为零)。结合导电媒质中的电荷弛豫现象，本文给出了纯粹的时变电场存在的两个具体的实例。纯粹的时变电场具有时间上指数衰减，空间上同静电场分布的特点。纯粹时变电场情况下，坡印廷矢量为零，不存在电磁能量的流动，空间储存的电场能量就地通过欧姆损耗完全转化为热能。

［1］ 倪光正.工程电磁场原理［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［2］ 冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论［M］.北京:高等教育出版社，2000.

［3］ 王泽忠，全玉生，卢斌先.工程电磁场［M］.北京:清华大学出版社，2011.

［4］ 雷银照.电磁场［M］.北京:高等教育出版社，2008.