基于随机微分博弈的最优投资

罗琰　刘晓星

摘 要 研究存在模型风险的最优投资决策问题，将该问题刻画为投资者与自然之间的二人-零和随机微分博弈，其中自然是博弈的“虚拟”参与者.利用随机微分博弈分析方法，通过求解最优控制问题对应的HJBI（HamiltonJacobiBellmanIsaacs）方程，在完备市场和存在随机收益流的非完备市场模型下，都得到了投资者最优投资策略以及最优值函数的解析表达式.结果表明，在完备市场条件下，投资者的最优风险投资额为零，在非完备市场条件下最优投资策略将卖空风险资产，且卖空额随着随机收益流波动率的增大而增加，随风险资产波动率增大而减少.

关键词 模型风险；微分博弈；投资组合；鞅测度

中图分类号 F830 文献标识码 A

Optimal Investment Based on Stochastic Differential Game

LUO Yan1，2，LIU Xiaoxing2

（1.School of Science， Nanjing Audit University， Nanjing，Jiangsu 211815，China；

2.School of Economic and Management， South East University， Nanjing，Jiangsu 211189 ，China）

Abstract This paper studied the problem of optimal investment with model risk via stochastic differential game approach. Suppose that nature is a "fictitious" player of game， the problem is represented as the twoplayer zerosum stochastic differential game between the nature and investor. Through solving HJBI equations， this paper derived the closedform expressions of optimal strategies of the investor and the optimal value function under the complete market and incomplete market with stochastic income respectively via stochastic game approaches. The results indicate that the amount of optimal investment on risky asset is zero in complete market，but the amount of optimal investment on risky asset is the negative ratio between the income flow volatility and risky asset volatility in incomplete market.

Key words model risk；differential game； portfolio； martingale measure

1 引 言

在最优投资问题的研究中，以往大部分文献[1-4]都假设基础资产以及其他相关的状态变量服从某个已知的随机过程，建立相应的投资决策模型，从而得到投资者的最优投资策略.然而，真实世界中基础资产以及相关状态变量所遵循的随机过程往往和模型中事先假定的过程之间存在差异，因此投资者得到的“最优”投资策略与真实的最优策略也会存在差异.虽然，许多学者不断构造出更切合实际的模型来刻画资产的价格变化过程，但任何事先假定的资产价格过程与真实世界都会存在差异.因此，“模型风险（模型不确定性）”是在投资过程中真实存在且不可避免的.从数学的角度来说，通常的风险是指投资者对随机过程未来出现哪种结果是未知的，但对随机过程所服从的概率分布是已知的.而这里的模型风险是指随机过程（如股票价格过程）所服从的概率分布本身不确定的.因此，本文把模型风险刻画为概率测度的不确定性.国内外学者对存在模型风险情形下的投资及定价问题做了许多研究，如Maenhout （2004）[5] 在鲁棒（robust）方法基础上，利用相对熵测度模型不确定性，研究了连续时间下最优投资消费问题，李仲飞和高金窑（2010）[6]研究了模型不确定下投资组合及资本资产定价（CAPM）问题.罗琰和杨招军（2010）[7]研究了存在模型风险的保险公司最优投资决策问题，得到了公司的最优投资及再保险策略.Lin， Zhang and Siu（2012） [8]研究了具有跳扩散风险过程保险公司的最优投资及再保险决策随机微分博弈问题.李仲飞和高金窑（2011）[9]在CIR模型基础上，通过引入折现熵，研究了模型不确定性条件下的一般均衡定价问题，导出了模型不确定性条件下的无风险利率定价方程、跨期资本资产定价模型、基于消费的资本资产定价模型、金融资产定价公式及包含不确定性成分的随机折现因子.Jin and Zhang（2012） [10]利用分解方法研究了投资者面临资产价格频繁跳跃带来不确定性时，并不会减少风险资产的投资.

经 济 数 学第 32卷第2期

罗 琰等：基于随机微分博弈的最优投资

与上述文献不同，本文所定义的模型风险具体来说就是投资者初始参考的资产价格变化过程与未来真实世界中的价格变化过程之间可能存在的客观差异.因而，模型风险对投资者选取的最优投资策略具有重要的影响，可能与不考虑模型风险的最优投资策略截然不同.本文试图用随机微分博弈的思想来研究存在模型风险时基于最大化终止时刻财富期望效用准则的最优投资决策问题.Mataramvura and ksendal （2008） [11]在跳-扩散金融市场中，利用随机微分博弈论研究了风险最小化的投资组合策略问题.Siu （2008）[12]也利用随机微分博弈论研究了Markov调制模型下的期权估值问题.Zhang and Siu（2009） [13] ，Zhou etal. （2013） [14]， 以及Bensoussan etal. （2014） [15]利用随机微分博弈论研究了不存在无风险资产情形下保险公司最优投资及再保险问题.Browne[14] 研究了2个具有相关但不同投资机会的投资者之间基于随机微分博弈的最优投资问题.何朝林和孟卫东[15]在随机波动模型中引入一个新的随机变量，用以测度风险资产价格未来实际运动与模型描述之间的不确定性差异，研究投资者面对时变投资机会和规避该不确定性差异下的动态资产组合选择问题.

本文将存在模型风险的最优投资决策问题刻画为自然与投资者之间的二人-零和随机微分博弈，这里自然是博弈中“虚拟”的参与者.具体来说，一方面投资者选择一种投资组合策略最大化其终止时刻财富期望效用，这里的期望是在自然控制的概率测度Qθθ∈Θ下取得的，Qθθ∈Θ代表了不同的经济“环境”，且概率测度Qθθ∈Θ是投资者无法控制的，否则投资者最后所获得的效用可视为不同度量尺度的一个相对数值，其效果如同用不同的货币衡量同一件商品的价值当然有不同的数值，而商品价值的实际数值（效用）不会改变.另一方面，自然通过选择概率测度所代表的经济“环境”，最小化投资者的最大终止时刻财富期望效用.本文分别在经典Black-Scholes完备市场以及引入随机收益流的非完备市场条件下研究存在模型风险的最优投资决策问题.在投资者具有指数效用偏好的假设下，得到了投资者的最优投资策略及最优值函数的显示解.

2 完备市场模型下的最优投资决策

本文始终考虑在有限时间段[0，T]内的最优投资决策，投资者所面临的经济环境是不确定的.为刻画经济环境的随机性，引入概率空间（Ω，F，P），这里P表示一个参考概率测度，每个w∈Ω代表直到时刻T才最终确定的一个经济状态.本节在经典的BlackScholes完备市场经济条件下考虑基于存在模型风险的最优投资决策.假设市场中仅存在一种风险资产及一种无风险资产，风险资产价格S（t）服从几何布朗运动：

dS（t）=μS（t）dt+σS（t）dW（t），S（0）=s. （1）

无风险资产价格S0（t）服从如下方程：

dS0（t）=rS0（t）dt，S0（0）=1， （2）

其中r，μ，σ>0为常量，μ为风险资产的回报率，σ为风险资产价格波动率，r为无风险资产收益率且有0

设投资者具有初始财富x，采用自融资（SelfFinancing）交易策略，即在整个时间段[0，T]即不追加投资，也不抽出资金作为他用.设π（t）为t时刻投资在风险资产上的财富，X（t）-π（t）为t时刻投资在无风险资产上的财富.若{π（t），t≥0}是Ft循序可测的，并几乎处处满足可积条件∫T0π2tdt<+

SymboleB@ ，则π（t）是可行策略，记Π为所有可行策略集.投资者在时刻t的财富过程X（t）满足如下受控扩散过程：

dX（t）=[rX（t）+π（t）（μ-r）]dt+π（t）σdW（t），

X（0）=x.（3）

投资者的目标是最大化其终止时刻财富水平X（T）的期望效用.需要强调的是：上述“期望”是在具体的概率测度下取得的，即使同一随机变量，不同的概率测度对应不同的期望值.所以投资者终止时刻财富期望效用的大小受具体概率测度的控制，而这里的概率测度是由自然控制的.于是，自然可以通过选择概率测度，最小化投资者期望效用.

引入自然控制的概率测度集.假设Ft可测的随机过程{θ（t）|t≥0}，对任意T<

SymboleB@ ，满足Novikov条件E[exp（12∫T0θ2（t）dt）]<

所以，由式（9）和（10）可知：自然选择不同的θ，风险资产回报率在不同经济“环境”中也随之变化，于是投资者的财富过程也发生相应变化.

现在可以在自然和投资者之间考虑如下随机微分博弈：给定由测度Qθ表示的自然选定的经济“环境”，投资者选择最优投资策略最大化其终止时刻财富期望效用.自然对投资者的选择做出反应，通过选择由测度Qθ表示的经济“环境”，最小化投资者的最大财富期望效用.这就把最优投资决策问题刻画为自然与投资者之间的二人-零和随机微分博弈.为方便叙述，定义：

由定理3可知，在非完备市场条件下，投资者的最优投资策略是卖空风险资产，且卖空额随着随机收益流波动率的增大而增加，随着风险资产波动率增大而减少.而由式（34）可知，若=0，即自然选择的是初始参考概率测度P，与投资者的参考概率测度一致，则最优投资策略与文献[18]中定理5的结论一致，为

π=（μ-r）/[γσ2er（T-s）]-ρβ/σ. （39）

由此可见文献[16]中定理5的结论是本文的一种特殊情形.式（39）的第一项即为不考虑模型风险情形时经典Merton问题的最优投资策略，而第二项是引入随机收益流后产生的投资需求.当本文考虑存在模型风险且投资者具有随机收益流时，自然的最优策略将同时影响最优投资策略式（39）的第一项和第二项投资的需求.由式（34）可知，此时第一项投资需求减少为零，这对应着完备市场中风险资产最优投资额为零；第二项的投资需求修正为收益流与风险资产波动率之比的相反数-β/σ，与相关系数ρ已没有关系，这是因为自然的选择（与相关系数ρ有关）恰好消除了投资策略对两种随机风险过程相关性的依赖.由式（19）及式（36）可知，最优投资策略与风险厌恶系数γ无关，即最优投资策略独立于投资者的风险厌恶态度，而传统的基于效用最大化准则的投资策略都与风险厌恶系数相关.

4 结 语

本文研究了存在模型风险的最优投资决策问题.利用随机微分博弈方法，假设自然是博弈的“虚拟”参与者，将问题刻画为投资者与自然之间的二人-零和随机微分博弈.投资者选择一个投资策略最大化其终止时刻财富期望效用，而自然选择一个概率测度代表的经济“环境”最小化投资者的最大财富期望效用.在完备市场和具有随机收益流的非完备市场条件下，假设投资者具有指数效用函数，通过求解模型相应的HJBI方程，都获得了投资者的最优策略及最优值函数的显式解.本文得到的结果表明：在完备市场中投资者的最优投资策略为将全部财富购买无风险资产，而风险资产投资额为零，因为投资者与自然处于均衡状态时，自然选择的是一个等价鞅测度或者说是无风险测度，投资者处于一个风险中性世界.而在非完备市场条件下，为了利用风险资产对冲随机收益的不确定性，投资者将卖空风险资产，且卖空额随着随机收益流波动率的增大而增加，随风险资产波动率增大而减少.本文得到的结论切实可行，易于实时操作，对投资者面临最不利经济环境时的最优投资决策提供了一个有益的参考.

参考文献

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