层层类比 由此及彼

邰红娟

【摘 要】在中学数学教材中，许多知识采用了类比方法的教学，对比不同知识点间的联系与区别，使知识内容系统化、网络化。这种教学锻炼了学生的逻辑分析能力，提高了综合应用水平。本文以圆和椭圆的类比教学为例，浅谈类比的一些应用。

【关键词】代换；类比；性质

1.类比法是高中数学中的一个重要方法

类比法是一种横向思维，是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。数学教育家波利亚曾说过：“没有这些思路（普遍化、特殊化和类比的通用的基本思想），特别是类比，在初等或高等数学中也许就不会有发现”。华东师范大学许承厚就通过类比法发现并证明了多面体的面角和定理。由此可见，类比法在数学学习和研究中起着非常重要的作用，必须引起重视，高中数学教学更应充分重视类比法。

下面以椭圆性质的探究为例，作一些分析

2.变量代换，由圆及椭

问题：

将圆O：x2+y2=4上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？（苏教版《选修2-1》P31 例2）

证明：设点P（x，y）为所求曲线上的任一点，则点P′（x，2y）为圆O上的对应点

则x2+（2y）2=4

该曲线为椭圆。

既然通过圆的伸缩就可以变成椭圆，那么圆中的对应性质在椭圆内有类似的性质吗？

3.性质对比，由圆类椭

3.1类比1 弦斜率之积

性质1：已知圆O：x2+y2=r2，MN为圆O的一条直径，P为圆O上的任意一点，则kMP·kNP=-1。

证明：设M（x1，y1），（x2，y2），则N（-x1，-y1）

那么，类比到椭圆中是否也有类似的性质呢？

3.2类比2 弦与某直线斜率之积

性质2：已知圆O：x2+y2=r2，MN为圆O上的一条弦（不是直径），P是线段MN的中点，若直线MN和直线OP的斜率都存在，则 总之，类比法是一个重要的数学方法，这里只是其在高中数学教学应用中的一个小实例。在教学实际中，广泛合理地应用类比法对激发学生的学习积极性，提高学生的学习能力，体现数学学科的核心价值非常重要。

（作者单位：昆山震川高级中学）