分类讨论思想在高中数学解题中的应用

章建华

（福建省福安市第六中学）

分类讨论思想是高考七大数学思想方法之一， 它是解决问题的一种逻辑方法，这种思想在简化研究对象、发展思维方面起着重要作用，高考将分类讨论思想的考查放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查。 分类讨论思想实际上也是“化整为零，各个击破”的教学策略。 分类讨论思想不仅有利于提高学生的归纳、总结水平，同时也有利于提高学生的概括性、条理性、逻辑性，这对于培养学生的严谨思维、逻辑思维都具有极其重要的现实意义。高中生如果能很好地掌握分类讨论思想， 可以大大提高学生的数学解题能力，提高学生的数学成绩。

一、分类讨论思想的基本概述及其在数学解题中的作用

我们在解决某些数学问题时，常常会遇到这样一种情况：解到某一步后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的。当被研究的问题包含了多种情况，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究，这就是分类讨论思想方法。

分类讨论思想通常以概念的划分、集合的分类为基础，主要有以下几个方面：一是分类意识，即什么情况下需要分类；二是如何分类，即要科学地分类，分类要标准统一，不重不漏。三是分类之后如何科学地研究；四是如何合理地整合。

通过分析、总结历年来的高考考点，可以看出分类讨论的数学方法是其中的一个重要知识点。 这主要是因为分类讨论方法可以很好地锻炼学生的逻辑思维， 这对于解决其他的实际问题也非常必要。而且一般分类讨论问题的综合性较强，这样考查考生多方面的知识，评估学生的实际学习能力。其次，掌握分类讨论思想，有利于更好地解决实际问题，比如数学概念中会有分类讨论的问题，包括等比数列前n项和公式、绝对值定义等；数学运算公式中有不等式两边同时乘以一个实数后对于不等号方向有何影响、 偶次方根非负等；参数变化中参数取值不同导致结果不同；参数值不同采用不同的证明方法或者求解方法等。 这些问题都必须采用分类讨论思想解决。

二、分类讨论思想在高中数学解题中的实际应用

1.科学、合理分类

分类讨论思想的第一步是对问题中的对象进行分类， 如果将问题比喻成一个集合A的话， 则就是指应该将A划分成A1、A2、A3、A4等n个非空真子集，其中n肯定超过2 个（包括2），集合A中的每一个元素都属于其中的一个子集。想要确保分类的科学性，首先一定要保证分类上不能出现遗漏， 然后要保证分类上不能出现重复。在确保做到不重不漏的前提下，结合题目的性质以及题目中给出的条件尽量减少分类。

2.确定分类的标准

高中数学解题中采用分类讨论的方法， 在确定分类讨论对象后，应该思考分类标准，分类标准是解题中的关键环节，决定了解题的简易程度。 下面主要从以下几个角度确定分类标准：

（1）按照数学概念划分

在数学中，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念等。

（2）按照数学运算法则和定理、公式划分

高中数学有很多数学运算法则和定理、公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1 和q≠1 两种情况；指数、对数函数的单调性就分为a＞1，0＜a＜1 两种情况； 求一元二次不等式的解又分为a＞1，a＜0 及Δ＞1，Δ=0，Δ＜0 几种情况等等。

例2.数列｛an｝满足a1=x，a2=3x，sn+1+sn+sn-1=3n2+2，（n≥2，n∈N*），Sn是数列｛an｝的前n项和。（1）若数列｛an｝为等差数列，数列｛bn｝满足bn=2an-1，数列｛cn｝满足cn=t2bn+2-tbn+1-bn，试比较数列｛bn｝前n项Bn和与数列｛cn｝前n项和Cn的大小。（2）若对任意n∈N*，an＜an+1恒成立，求实数的取值范围。

分析：数列求通项与求和问题常用到分类讨论思想。涉及等比数列时，公比q的取值对求和的形式有决定的作用，本例中比较大小，含有字母t，就要用到分类讨论思想，讨论t的取值来比较大小；在第（2）问中，还要讨论n的取值求解。 比如：

解：（1）由已知得到a3=14-9x，再由2a2=a1+a3得6x=x+（14-9x）

所以x=1，an=2n-1（n∈N*），所以bn=22n-2＞0，cn=（16t2-4t-1）bn，

（2）由Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2，（n≥2，n∈N*）知Sn+2+Sn+1+Sn=3（n+1）2+2，

两式作差得an+2+an+1+an=6n+3，an+3-an=6，所以当n=1 时，an=a1=x，

当n=3k-1 时，an=a3k-1=a2+6（k-1）=2n+3x-4；

当n=3k时，an=a3k=a3+6（k-1）=2n-9x+8；

当n=3k+1 时，an=a3k+1=a4+6（k-1）=2n+6x-7；

因为对n∈N*，an＜an+1，恒成立，所以a1＜a2且a3k-1＜a3k＜a3k+1＜a3k+2，

本例中两处用到分类讨论的思想，是一道典型的讨论题。

（3）按照图形位置的划分

图形位置的相对变化也会引起分类，例如，两点在同一平面的同侧、异侧，二次函数的图象的对称轴相对于定义域区间的不同位置等。

例3.已知圆A的方程式是（x-2）2+（y-3）2=1，现在想要求解一条切线l使得这个圆A和x、y轴的截距相等。

解：假如，这条切线l和x轴的截距是a，这条切线l和y轴的截距是b，结合直线方程的适用范围考虑，一定要讨论截距a、b是不是会变成0。 为此就应该分为以下两种情况进行讨论：

①假如特殊情况，a、b均为0，则切线l方程为kx-y=0，利用圆的性质可知，圆心（2，3）和切线l之间的距离应该就是这个圆的半径， 因此这种情况下求解出来的结果是k=。 因此切线l的方程应该列为：或者

②假如a、b的值相等，且均不为0 的情况下，假设切线l方程为x+y-a=0， 主要是由于圆和切线是一种相切的关系， 因此可知最后解出而切线l的方程应该是：x+y-最终综合以上两种情况求解出来的结果，也就可以得出切线l方程的所有可能：

（4）按照题目的特殊要求划分一些题目，如排列组合的计数问题、概率问题，要按题目的特殊要求，分成若干情况研究。

例4.如上图所示，在排成4×4 的方阵的16 个点中，中心位置在4 个点在某圆内，其余12 个点在圆外，从16 个点中任选3 点作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形有多少个？

分析：解决排列与组合问题时应用分类讨论思想，本例中看到至少有一个顶点在圆内，想到分类讨论思想，依次分1 个点、2 个点、3 个点在圆内讨论求解，要做到不重不漏。

解：按从圆内4 点任取3 点、2 点、1 点分三类：

（5）按照题目的参数量变的划分

在研究含有参数的函数问题时，由参数的“量变”而导致结果的“质变”，也要进行分类讨论。

②当m＜0 时，若m≤-1，f＇（x）≤0 对x∈（0，+∞）恒成立，所以f（x） 在（0，+∞） 上单调递减； 若-1＜m＜0， 由f＇（x）=0， 得x1=且x1＜x2＜0，可知f＇（x）在（0，x1）与（x2，+∞）上为负，在（x1，x2）上为正，所以f（x）在（0，x1）与（x2，+∞）上单调递减，f（x）在（x1，x2）上单调递增。综上所述，当m≥0 时在（0，+∞）上单调递增；当m≤-1 时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当-1＜m＜0 时，f（x）在（0，x1）与（x2，+∞）上单调递减，f（x）在（x1，x2）上单调递增。

综上所述， 分类讨论思想是高中数学解题中非常重要的一种解题思想，在历年高考中也是重点考查的知识点。在数学解题中学会应用分类讨论思想，有利于学生数学思维的培养和发展，提高学生的数学素养， 教师在实际教学过程中应该不断渗透分类讨论思想，使学生能够更好地掌握这种数学思想。

刘向华.分析和解决数学问题能力的培养［D］.少年智力开发报，2011（04）.