简约而不简单

徐 亮

（江苏省常州市田家炳高级中学）

前不久，笔者在翻阅几本高三二轮复习用书的过程中发现，不同的编者却不约而同地都选用了这样一道题：“设a∈R，二次函数f（x）=ax2-2x-2a，若f（x）＞0的解集为A，B=｛x|1＜x＜3｝，A∩B≠覫，求实数a的取值范围。”初看此题，觉得条件简单直白，问题平淡无奇，但是为何编者们都对此题青睐有加，并将其写入二轮复习用书中呢？笔者仔细研究了这道题，发现这道题确实有着丰富的内涵和生命力，耐人寻味，值得细细琢磨。

初探

集合运算是这道题的关键条件，抓住“A∩B≠覫”作为解题的切入口。集合B已知，故考虑先求出集合A。对于不等式ax2-2x-2a＞0（a≠0）的解集，考查含参的一元二次不等式的解法，需要进行分类讨论。

这样的解法朴实无华，回归集合运算的本质，通过解含参不等式，借助数轴比较区间端点的大小实现问题的解决。但是，不难发现，这种方法的求解过程中涉及无理不等式的求解，对计算能力的要求较高，学生易错。

再探

回到原题再看“B=｛x|1＜x＜3｝，A∩B≠覫”，豁然开朗——问题可以转化为：不等式 ax2-2x-2a＞0（a≠0）在 a∈（1，3）上有解，也即存在 a∈（1，3），使 ax2-2x-2a＞0 成立。

此解法没有停留在原有问题的表面，将集合A，B的交集不空转化为不等式在给定区间上有解的问题，为解决本题跨出了坚实有力的一步。但是，怎么看都觉得这个方法的解题过程略显繁杂，还有简化改进的空间吗？

三探

既然解法二中已经将问题转化为不等式ax2-2x-2a＞0（a≠0）在a∈（1，3）上有解的问题，何不顺藤摸瓜，沿着这条线继续前行。对于一元二次不等式在给定区间上有解，借助二次函数的图像研究更为直观。

问题到此似乎已经寻找到解决该题的最佳方法，但是学生的思路又给这道题的解决开辟了更广阔的途径。

学生的思路

先考查A∩B≠覫时，实数a的取值范围。

对于二次函数f（x）=ax2-2x-2a，方程ax2-2x-2a=0两根x1x2=-2＜0，函数有两个零点分别在y轴的两侧；

当a＞0时，抛物线开口向上，此时若要求A∩B≠覫，只需（f3）≤0即可，解之得：0＜a≤；

当a＜0时，抛物线开口向下，此时若要求A∩B≠覫，只需（f1）≤0即可，解之得：-2≤a＜0；

所以当A∩B≠覫时，实数a的取值范围是-2≤a＜0或0＜a≤，那么若A∩B≠覫，且a≠0，则a的取值范围是a＜-2a＞。

此解法从问题的另一个角度入手，另辟蹊径，化归为不等式无解问题进行研究，显得更加清晰明朗。

回顾本题的几种不同解法，虽然有些略显冗长和复杂，有些却娓娓道来，但是相比较本题的优美解，笔者更欣赏解法一和解法二。对于某些数学问题，在计算并不复杂的情况下，回归朴素自然的方法也是不错的选择。数学解题就是一个从无到有、从有到优的过程，“有”和“优”两个结果都可以实现问题的最终解决，并不是每一次的解题都能寻求到最简洁、最漂亮的方法。如果一味追求优美解，可能就会忽略数学解题中最真实的本源、最自然的流露。巧解、妙解的背后也许就隐藏着更大的危机。在平时的教学中，教师也要有意识地引导学生，从最基本的方法入手，掌握数学知识的本质，提高分析问题与解决问题的能力。同时，教师更要对高考试题进行深入剖析与研究，从近几年的高考题中，找到高考命题的共性与变化趋势。从一些相似问题的研究中发现变化、寻找规律，让这些陈题、好题发挥其内在价值，渗透在平时复习的各个环节中，提高高三复习的效率。