为检测微弱周期信号对二次采样随机共振相关参数的研究

郑 堂， 李世平， 程双江， 邬肖敏

（第二炮兵工程大学，陕西西安710025）

为检测微弱周期信号对二次采样随机共振相关参数的研究

郑 堂， 李世平， 程双江， 邬肖敏

（第二炮兵工程大学，陕西西安710025）

分析了二次采样随机共振中涉及到的重要参数采样频率和二次采样频率，结合理论推导与仿真，得出了这两个参数对系统输出效果的具体影响，同时分析了造成这些影响的原因，提出了这两个参数选取的方法，为更好地应用二次采样随机共振检测微弱周期信号提供了依据。

计量学；微弱信号检测；二次采样随机共振；采样频率；二次采样频率

1 引 言

随机共振概念是1981年Benzi及其团队在研究古气候冰川问题时提出的［1］，用以解释地球气候以10万年为周期进行冰川期与暖气候期的交替现象，简要描述如下：对于淹没于噪声中的周期信号，当通过某些非线性系统处理后，噪声和周期信号能达到一种协同作用，使得噪声能量向周期信号转换，从而使得系统输出得到优化，输出信号中周期成分得以凸显，这正是将随机共振用于检测微弱信号的机理所在。与传统的微弱信号检测方法不同，随机共振是利用噪声而非抑制噪声，这使得它在检测微弱信号时具有很多其它方法所不具备的优势。目前用于研究随机共振的数学模型主要包括：双稳态系统、单稳态系统、阈值系统、离散时间系统和带参数的神经模型等［2～8］。本文选用非线性双稳态系统，具体就是非线性朗之万方程（Langevin Equation，LE）。

绝热近似条件要求信号具有小参数特性，尤其是周期信号频率f，由于系统对周期信号频率的适应性直接决定了采用随机共振方法检测微弱周期信号的有效性，如果随机共振仅对极小频率信号有效，则显然不能适应各频率段信号检测需求。针对这一问题，冷永刚等人提出了二次采样随机共振［9～12］，本文重点研究与二次采样随机共振效果相关的重要参数采样频率和二次采样频率对系统输出效果的影响。

2 二次采样随机共振

本文用于研究随机共振的数学模型是非线性朗之万方程，其数学表达式如下：式中，a和b为系统的结构参数，Γ（t）为强度为D的高斯白噪声，cos（ωt）为输入信号中的周期成分。

由绝热近似理论可知，在发生随机共振时，要求周期信号频率f等于克莱默斯跃迁率（Kramers Rate，KR）rK的一半，即f应满足f＝rK／2，这一频率匹配条件将周期信号频率限制在0.1 Hz这一数量级，要想产生随机共振，f必须小于这一数值，对于过大频率信号，非线性双稳系统将显得无能为力。

冷永刚等人提出的二次采样随机共振方法的基本思想是将大频率信号按照一定压缩比对频率尺度进行压缩，将频率压缩后的信号输入随机共振系统中处理，最后再对输出信号按照原频率压缩尺度进行频率还原，从而达到检测大频率微弱周期信号的目的，其算法过程如图1所示。

图1 二次采样随机共振算法过程

该方法的具体操作步骤如下：对于一个大频率信号，根据信号频率f和采样频率fs确定一个二次采样频率fsr，频率压缩比例为：

按照二次采样频率fsr所确定的计算步长代入龙格-库塔计算公式中计算，得出非线性双稳系统的输出，记凸显出的频率为f0，这一频率是被压缩了的，压缩比例正是R，最后按照压缩比例对信号频率进行还原即可得出输入信号中周期成分的频率为：

该方法通过频率压缩，将大频率信号当作小频率信号进行处理，从理论上看是可以实现大频率周期信号检测的，具体效果通过仿真进行分析：采用4阶龙格-库塔算法，首先选取如下参数：系统结构参数取a＝1，b＝100，噪声强度为D＝0.006，周期信号幅值为A＝0.01 V，频率为f＝1 Hz，采样频率fs＝5 Hz，仿真得到系统输入输出时频图如图2所示。

图2 周期信号频率f＝1 Hz时输入输出时频域图

该图中X（t）为时间t所对应幅值，X（f）为频率f所对应幅值，单位均为V。图2（d）中右上角为f＝1 Hz处的放大图，可以看出，在周期信号频率f＝1 Hz处虽然存在一个谱值尖峰，但是这一谱值大小已经低至10-3数量级，大约是输入信号中周期成分幅值的1／10，说明在f＝1 Hz的频率条件下，周期成分幅值不仅没有得到增强反而衰减得十分厉害，想通过非线性双位系统将周期成分凸显出来已经十分困难，可以认为此时系统没有发生随机共振现象，用它来检测微弱周期信号已经无能为力。

下面采用二次采样方法，对于图2中的仿真参数，取采样频率为fs＝500 Hz并保持其它参数不变，二次采样频率取为fsr＝5 Hz，由上面的推导可知，频率压缩比为R＝fs／fsr＝100，那么在未进行频率尺度还原时双稳系统输出应在f0＝f／R＝0.01 Hz处有一个频率凸起，此时的仿真效果如图3所示。

图3 频率还原前二次采样随机共振系统输入输出时频域图

图3中，（a）和（b）分别为输入信号时频域图，（c）和（d）分别为频率还原前二次采样随机共振系统输出时频域图。从图3（d）中可以明显看出，频率f0＝0.01 Hz处有一个凸出的谱峰，该频率处的周期信号得到很好的放大，根据频率压缩比可以算出，这一凸出谱峰所对应原周期信号频率为f＝R·f0＝1 Hz，正是输入信号中周期信号的频率。

相比于图2中的检测效果，经过二次采样后系统输出有明显改善，成功将f＝1 Hz处的信号检测了出来，这说明，二次采样能够较为有效地解决因频率增大而引起的系统输出效果变差问题。

3 采样频率及二次采样频率对系统输出的影响

二次采样随机共振中，涉及到采样频率fs和二次采样频率fsr。这两个参数的选取直接决定了频率尺度的压缩比R，这就决定了是否能将大频率周期信号的频率压缩至能有效发生随机共振的频段内。因此，这两个参数的选取对二次采样随机共振效果有着很大影响，下面研究这两个参数选取与系统输出效果之间的关系。

首先考虑二次采样频率fsr对系统输出效果的影响。下面的仿真中，系统结构参数取a＝1，b＝100，噪声强度为D＝0.006，周期信号幅值为A＝0.01 V，频率为f＝50 Hz，采样频率fs＝2 500 Hz，图4（a）中取二次采样频率fsr＝2.5 Hz，图4（b）中取二次采样频率fsr＝5 Hz，仿真结果如图4所示。

对比图4（a）和图4（b）可看出，在仅增大二次采样频率后，图4（b）中f＝50 Hz处虽有一个凸出频谱，但其谱值大小已低于低频区段的谱值，而无法判断这一频率是否就是周期信号频率，也无法准确检测出输入信号中的周期成分，即二次采样频率由2.5 Hz增大为5 Hz后，系统输出性能变差。

从以上输出效果变化可以看出，二次采样频率对系统输出性能有着很大影响，在其他参数保持不变的情况下，随着二次采样频率升高，系统输出性能变差，过高的二次采样频率会使得周期成分无法在输出信号中凸显出来，进而使得二次采样随机共振方法在大频率微弱周期信号的检测中失效。

其中除了周期信号频率处谱值的变化外，还能看到噪声分布形式的显著变化，从表观上说，随着二次采样频率升高，系统输出信号中噪声的洛伦兹分布形式变得越来越“陡峭”，这实际上说明随着二次采样频率升高，能量正朝着低频区域集中，二次采样频率越高，低频区域能量越大，谱值越高，这就使得周期信号频率处谱峰更加难以超越低频处谱值而凸显出来，从而更加难以判断出周期成分的存在。

图4 二次采样频率变化时双稳系统输入输出时频域图

接下来考察采样频率fs对系统输出的影响，在图4（a）的参数条件下，降低采样频率至fs＝2 000 Hz，保持其它参数不变，此时系统输出效果如图5（a）所示。从图中可以看到，周期信号频率f＝50 Hz处有一个凸出的谱峰，但此处的谱值已经不是全局最高点了，将该图与图4（a）相比可以看出，采样频率降低后，输出信号中噪声分布形式基本没变，但周期信号频率处谱值降低了，这使得周期信号频率处的谱值不能像图4（a）那样清晰地凸显出来，这对判断这一频率是否为周期成分造成了困难，可以认为，采样频率由2 500 Hz变为2 000 Hz后，系统对微弱周期成分的检测效果变差了。

继续降低采样频率，保持其它参数不变，当fs＝1 000 Hz时系统输出效果如图5（b）所示。与图5（a）相比，图5（b）中周期信号频率处谱峰变得更低，同时，噪声分布形式基本没有发生变化，从图5（b）中也更难判断出周期信号成分的存在。

图5 采样频率变化时双稳系统输入输出时频域图

从图4（a）到图5（a）再到图5（b）的变化可以看出，随着采样频率fs的降低，噪声分布形式基本保持不变，但系统输出信号中周期信号频率所在处的谱值却逐渐变小，这对于辨别周期成分的存在不利，即随着采样频率fs降低，系统输出性能下降，亦即对微弱信号的检测能力变差。

4 结果分析

上面主要研究了与二次采样密切相关的两个参数——采样频率和二次采样频率对系统输出性能的影响，总结起来，二次采样频率升高会导致输出信号中能量朝着低频区域集中，使得噪声分布形式变得更加“陡峭”，同时也会使得周期信号频率处的谱值变小，这两个变化的综合效应使得周期信号更加难以辨认，系统输出性能下降；采样频率降低虽然对噪声分布形式没有产生影响，但它使得周期信号频率处谱值变小，这同样也使周期信号难以辨认，对微弱周期信号的检测产生消极影响。

从式（2）中可以看到，频率压缩比R是与采样频率和二次采样频率密切相关的一个参数，即R＝fs／fsr，事实上，不论是二次采样频率fsr升高还是采样频率fs降低，最终都会使得频率压缩比R减小，而从式（3）中可以知道，输入信号中周期成分频率f与二次采样后周期信号频率f0之间存在关系f0＝f／R，因此频率压缩比R的减小会直接导致二次采样后周期信号频率f0升高，从而导致这一频率距离易发生随机共振的低频区域较远，系统输出中周期信号频率处谱值自然会变小。

至于二次采样频率升高会导致输出信号中能量朝着低频区域集中，使得噪声分布形式变得更加“陡峭”，这是由算法特点决定的，二次采样频率直接决定了龙格-库塔算法中的计算步长，计算步长越短，会使得输出信号中噪声能量越向低频区域集中。

通过以上分析，得出二次采样频率fsr和采样频率fs变化分别对系统输出所产生的影响，二者改变对系统输出中噪声分布形式和周期信号频率处谱值大小变化有显著作用，直接影响系统检测微弱周期信号的效果。由绝热近似理论可知，传统的随机共振方法仅对于满足频率f＜0.1 Hz的周期信号具有较好的检测效果，根据这一结论，在进行二次采样随机共振时，应考虑将经过二次采样后的信号频率f0控制在0.01～0.05Hz这一易发生随机共振的区域以保证系统输出的效果，这可以通过同时调整二次采样频率和采样频率以控制频率压缩比R的大小来实现。在确保了二次采样后信号频率f0处在合适的频段后，还应考虑使输出信号中噪声分布形式不过于“陡峭”，这样更有利于周期成分凸现出来，通过前面的仿真可知，这可以通过适当降低二次采样频率fsr来实现（不可过低，仿真表明，在图4（a）的参数条件下，当把二次采样频率降低到1.7 Hz以下后程序会出现溢出）。在进行信号检测时，通过选择合适的二次采样频率和采样频率，可以得到一个最优的系统输出，使得周期信号更好地凸显出来。

5 结 论

本文着重对二次采样随机共振中所涉及到的重要参数采样频率和二次采样频率作了分析，结合理论推导与仿真，得出了这两个参数对系统输出效果的具体影响，同时分析了造成这些影响的原因，为更好地运用二次采样随机共振检测微弱周期信号提供了一定的参考依据。

］

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The Research of Related Parameters in Tw ice Sam pling Stochastic Resonance Used in Week Signal Detection

ZHENG Tang， LIShi-ping， CHENG Shuang-jiang， WU Xiao-min
（The Second Artillery Engineering University，Xi’an，Shaanxi710025，China）

Two important parameters，the sample frequency and twice sample frequency，is analyzed.The effects of these two parameters on the output of system is concluded based on the theoretical analysis and simulation.At the same time，the cause of these effects are analyzed and then put forward a method of how to select these two parameters.It provides a basis for a better use of twice sampling stochastic resonance in weak signal periodic detection.

Metrology；Weak signal detection；Twice sampling stochastic resonance；Sample frequency；Twice sample frequency

TB973

：A

：1000-1158（2015）03-0313-05

10.3969／j.issn.1000-1158.2015.03.19

2013-08-08；

：2014-03-26

郑堂（1989-），男，湖北京山人，第二炮兵工程大学硕士研究生，主要从事微弱信号检测的研究。1054208386＠qq.com