解析Besov型空间

韩金桩，瑛 瑛

(呼伦贝尔学院 数学科学学院，内蒙古 呼伦贝尔 021008)

0 引言

设D={z∈C:|z|<1}表示单位圆盘，∂D={z∈C:|z|=1}表示单位圆盘D的边界.令H(D)表示D中所有解析函数组成的集合.

定义1[1]设0

则称f属于Hardy空间Hp，简记作f∈Hp，其中

定义2 令p>1和ρ:[0,1)→[0,+∞)是一权函数.若f∈H(D)满足

则称f∈Bp(ρ)，其中dA(z)=π-1dxdy是D上规范化的勒贝格测度.

解析函数空间Bp(ρ)是Arcozzi、Rochberg和Sawyer引进的[2]，它包含了很多重要的函数空间.设ρ(t)=ts,0≤s<∞，则空间Bp(ρ)和Besov型空间Bp(s)是相同的；特别地，如果s=0，则空间Bp(ρ)恰是经典的Besov空间Bp.当p=2时，则Bp(ρ)=Ds.关于Bp(s)空间可参阅文献[3-5].若权函数ρ满足某些条件，Arcozzi,Rochberg 和Sawyer 利用Carleson测度给出了Bp(ρ)空间的很多结论[2].Aleman证明了Dρ中每个元素是两个有界函数的商[6].参照文献[7]的考虑，设ρ:[0,∞)→[0,∞)是右连续的增函数且ρ满足

(1)

和

(2)

若条件(1)和(2)成立，由文献[7]的引理2.1和2.2，可得ρ有很多优美的估计，例如ρ是二阶可导的．根据文献[7]，本文设ρ(0)=0，否则Bp(ρ)总是Besov空间Bp.

本文中符号A≈B意味着ABA，其中AB意味着存在一个常数C使得A≤CB.

1 BMO-型特征

性质1 设不等式(2)成立和1

证明给定一个f∈Bp(ρ)，令0

因为不等式(2)成立，由文献[7]的引理2.2得，存在一个充分小的c使得t1-c≤ρ(t)，所以

因此得

Mp(r,f-f(0))

故有

证毕．

定义3 若f∈Lp(∂D)满足，

则称f∈Bp(ρ)(∂D).

令

(3)

为f的泊松积分．

引理1[9]设不等式(1)和(2)成立，则对任意的eit,eiu∈∂D，有

定理1 设不等式(1)和(2)成立，1

定理1的证明类似于文献[9]中引理3的证明方法，在此省略证明.

推论1 设不等式(1)和(2)成立，1

受Dyakonov在文献[10]中所做工作的启发,给出以下结论.

定理2 设不等式(1)和(2)成立，1

(1)f∈Bp(ρ)；

(2)

(3)

证明(1)⟹(2).令

L1(r)

利用泊松积分公式，

因此，结合引理1，可得

利用同样的方法，可得

从而有

这就证明了(1)⟹(2).

(1)⟹(3).令

同理，可得

L2(r)

这样，证明就类似于(1)⟹(2).

(2)⟹(1). 由式(3)，经简单计算得

|▽feit)|

因此，

(3)⟹(1).该证明类似于(2)⟹(1).证毕.

推论2 设不等式(1)和(2)成立.令1

(1)f∈Bp(ρ)；

(2)

(3)

推论2的证明方法类似推论1的证明，在此省略证明．

定义4 若I∈H(D)且满足

|I(eiθ)|=1,a.e.θ∈[0,2π],

则称I为内函数.设ln|g|∈L1(∂D),则称

为一个外函数，其中η∈∂D．

若函数f∈Hp,则f可分解成一个内函数和外函数的乘积.利用文献[4]的证明方法，易得下面的结论，在此省略证明.

定理3 设不等式(1)和(2)成立.令1

(1)f∈Bp(ρ);

(2)I2(|f|)<∞且

2 因式分解

设X⊂H1，I是一内函数．若对任意的h∈X，恒有h/I∈X，则称X具有f-性质．

推论3 设不等式(1)和(2)成立，1

证明结合定理3和

|f(z)|+f(z)(1-|I(z)|)，

又因为|fI|∈Bp(ρ)(∂D)等价于I2(|fI|)<∞，利用基本的不等式，易得结论.证毕.

利用定理3可以证明，任意一个Bp(ρ)中的函数可以表示成Bp(ρ)中两个有界函数的商.下面的引理可见文献[6]的引理2.7.

引理2 令(X,μ)是一个概率测度空间，φ∈L1(X,μ)是一个非负函数且满足lnφ∈L1(X,μ).令

则E(min(1,φ))≤E(φ),E(max(1,φ))≤E(φ)．

定理4 设不等式(1)和(2)成立，1

证明设f∈Bp(ρ)且f≠0(否则定理是显然的).由于Bp(ρ)⊂Hp，可以令f=IO，其中I和O分别是内函数和外函数.令

和

容易得到1/O+和O-位于H∞中．显然O=O+O-.注意到f=IO+O-=IO-/1/O+.设A=IO-且B=1/O+．下证A,B∈Bp(ρ).令

结合引理2，得到

E(|O+|,z)≤E(|O|,z),

E(|O-|,z)≤E(|O|,z)．

因此

E(|O|,z)≤

|O(z)|(1-|I(z)|)=

E(|O-|,z)+|O-(z)|(1-I(z))≤

|O(z)|(1-|I(z)|)=

结合定理3，即可得证．证毕.

3 结论

运用分析技巧和函数空间的若干知识，获得了解析型Besov型空间Bp(ρ)的两个解析特征，第一是函数在单位圆周上的积分特征；第二是Bp(ρ)中的函数可以分解为两个有界解析函数的商.